Grafici Con Matlab

Matlab permette di disegnare facilmente dei grafici

La prima cosa da fare è costruire una nuova “figura”:

figure()

• La funzione figure apre una nuova finestra…
• …In cui verrà inserito il disegno

In molti casi, questo passaggio può essere saltato

• Se non è stata ancora costruita una figura…
• …Molte funzioni di disegno se ne accorgono…
• …E chiamano figure automaticamente

Grafici Con Matlab

Supponiamo di volere costruire un grafico cartesiano

Per prima cosa dobbiamo costruire il vettore delle \(x\)

Possiamo usare linspace:

x = linspace(-2*pi, 2*pi, 200)

• Provandolo, noterete che il vettore restituito contiene molti elementi
• Potete disabilitare la visualizzazione aggiungendo “;”

Quindi scrivendo:

x = linspace(-2*pi, 2*pi, 200);

…Si ottiene lo stesso risultato, ma senza stampe

Plotting

Ora otteniamo il vettore con i valori per l’asse delle \(y\)

Calcoliamo per esempio la funzione “seno”

• Basta applicarla al vettore x…
• …Perché sin opera elemento per elemento

y = sin(x);

In questo modo otteniamo:

• I valori della funzione sin…
• …Corrispondenti agli elementi del vettore x

Plotting

A questo punto possiamo disegnare il grafico

Si utilizza la funzione plot

plot(x, y)

• plot riceve come argomento due vettori (coordinate \(x\) e \(y\))
• Il disegno viene ottenuto “congiungendo i puntini”

Avremmo anche potuto scrivere direttamente:

plot(x, sin(x)) % senza usare una variabile per y

Si può anche specificare un colore:

plot(x, sin(x), 'b') % b = blue

• Si può specificare lo stile della linea, lo spessore…
• Guardate la documentazione di plot per altri dettagli!

Plotting

Si può aggiungere una griglia con:

grid()

Per disegnare più curve sovrapposte:

figure()              % Nuova figura
plot(x, sin(x), 'b')  % Prima curva, in blu
hold on               % Attiva la modalità "hold"
plot(x, cos(x), 'g')  % Seconda curva, in verde
hold off              % Disattiva la modalità "hold"

• Senza la modalità hold ogni plot rimpiazza il precedente

Esercizio: Grafici Cartesiani

Disegnate, per \(x \in [-4, 4]\) le seguenti funzioni:

\[\begin{align} (1)\quad & x^2 - x & (2)\quad & \frac{1}{1 + |x|} \\ (3)\quad & \frac{1}{1 + e^{-x}} & (4)\quad & \frac{1}{x|x|} \end{align}\]

Prima di disegnarle, cercate di intuire se sono:

• Continue
• Derivabili (senza “spigoli”)
• Concave/convesse (eventualmente)

E quindi verificatelo visivamente

Grafici Cartesiani (Soluzione)

Soluzione:

x = linspace(-4, 4, 200);  % Notate il ;
plot(x, x.^2 - x)          % Cont., derivabile, conv.
plot(x, 1./(1 + abs(x)))   % Cont., non derivabile
plot(x, 1./(1 + exp(-x)))  % Cont., derivabile
plot(x, 1./(x.*abs(x)))    % Non cont., non derivabile

• Notate che per l’ultima funzione il grafico ha un artefatto!
• La funzione non è continua, ma si vede comunque una linea
• Succede perché in 0 la funzione non è definita…
• …ma il punto subito prima e subito dopo sono ben definiti…
• …quindi plot li congiunge con una linea

Esempio: Serie Armonica

Consideriamo la serie armonica (troncata):

\[S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}\]

Vogliamo verificare empiricamente che \(S_N\) diverge per \(N \rightarrow \infty\)

• Calcoliamo il valore di \(S_N\) con \(N = 1..N_{max}\)
• Riportiamo i valori di \(N\) ed \(S_N\) su un grafico

Esempio: Serie Armonica

Consideriamo la serie armonica (troncata):

\[S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}\]

Vogliamo verificare empiricamente che \(S_n\) diverge per \(N \rightarrow \infty\)

• Calcoliamo il valore di \(S_N\) con \(N = 1..N_{max}\)
• Riportiamo i valori di \(N\) ed \(S_N\) su un grafico

Osservazione fondamentale:

\[S_N = S_{N-1} + \frac{1}{N}\]

• Quindi possiamo iterate sui valori di \(N\)…
• …E ad ogni passo salvare \(S_N\) in un vettore
• Al passo successivo, useremo \(S_N\) per calcolare \(S_{N+1}\)

Esempio: Serie Armonica

Una possibile implementazione (nello start-kit):

clear all

Nmax = 50;
y = [];      % Preparo un vettore per i risultati

s = 0;
for n = 1:Nmax
    s = s + 1/n;
    y(n) = s;
end

plot(1:Nmax, y)

Esempio: Risultati su Vettori/Matrici

Dato un vettore di valori \(x\):

• Vogliamo calcolare i valori di \(\sin(x)\) e \(\cos(x)\)
• I valori di \(\sin(x)\) dovranno comparire come prima colonna del risultato \(y\)
• I valori di \(\cos(x)\) dovranno comparire come seconda colonna del risultato \(y\)

Come procedere:

• Calcolare \(\sin\) e \(\cos\) è banale (ci sono le funzioni predefinite)
• La cosa complicata è come salvare i risultati su \(y\)
• Nota che \(y\) dovrà essere una matrice

Vediamo tre metodi (nel file my_sin_cos.m)…

Esempio: Risultati su Vettori/Matrici

Primo metodo: concatenazione di colonne

x = linspace(-pi, pi);

y = [sin(x).', cos(x).'];

• sin(x) e cos(x) restituiscono un vettore riga
• Quindi vanno trasposti per poter essere correttamente concatenati

Avremmo potuto anche usare:

y = [sin(x); cos(x)]    % Due righe una sopra l'altra
y = y.'                 % Traspongo y

Esempio: Risultati su Vettori/Matrici

Secondo metodo: concatenazione di righe (una per una)

y2 = [];
for i = 1:length(x)
        row = [sin(x(i)), cos(x(i))];
    y2 = [y2; row];
end

• Ad ogni passo estendiamo costruiamo una riga con \(\sin(x_i)\) e \(\cos(x_i)\)
• Quindi estendiamo y2 aggiungendo una riga

Esempio: Risultati su Vettori/Matrici

Terzo metodo: assegnamento di righe (una per una)

y3 = [];
for i = 1:length(x)
    y3(i, :) = [sin(x(i)), cos(x(i))];
end

• Ad ogni passo estendiamo costruiamo una riga con \(\sin(x_i)\) e \(\cos(x_i)\)
• Quindi assegniamo la riga nella posizione corretta
• Per effettuare l’assegnamento occorre usare due indici (i.e. i e :)
• In questo modo Matlab capisce che vogliamo assegnare una intera riga

Esercizio: Serie Geometrica

Consideriamo la serie geometrica (troncata):

\[S_N = \sum_{n=0}^N a r^n\]

Vogliamo verificare empiricamente che \(S_n\) converge se \(r < 1\), per \(N \rightarrow \infty\)

• Calcoliamo il valore di \(S_N\) con \(N = 0..N_{max}\)
• Riportiamo i valori di \(N\) ed \(S_N\) su un grafico

Osservazione fondamentale:

\[S_N = S_{N-1} + a r^N\]

• Quindi possiamo iterate sui valori di \(N\)…
• …E ad ogni passo salvare \(S_N\) in un vettore
• Al passo successivo, useremo \(S_N\) per calcolare \(S_{N+1}\)

Svolgete l’esercizio nel file di script my_geometic.m

Esercizio: Somma di Matrici

Nel file di script my_msum:

• Sono definite due matrici A e B di esempio, con la stessa dimensione
• Calcolatene la somma

Confrontate il vostro risultato con quello dell’operatore + di Matlab

Esercizio: Indicizzazione con Vettore di Indici

Abbiamo visto che Matlab permette di accedere ad un vettore con:

V(I)

• V è un vettore
• I è un vettore di indici

Nel file di script my_index.m:

• Sono inizializzati un vettore X di dati ed un vettore I di indici
• Calcolate il vettore Y con gli elementi di X…
• …Alle posizioni specificate da I

Confrontate il vostro risultato con quello di Matlab

Esercizio: Funzione Esponenziale

Il valore di \(e^x\) si può calcolare sfruttando la serie di Taylor:

\[S_N = \sum_{k = 0}^N \frac{x^k}{k!}\]

Vogliamo verificarlo empiricamente che \(S_N \rightarrow e^x\) quando \(N \rightarrow \infty\):

• Calcoliamo il valore di \(S_N\) con \(N = 0..N_{max}\)
• Riportiamo i valori di \(N\) ed \(S_N\) su un grafico
• Confrontiamo il valore di \(S_{N_{max}}\) e \(e^x\)
• Per calcolare il fattoriale: factorial(k)

Come nel caso della serie armonica, vale:

\[S_N = S_{N-1} + \frac{x^N}{N!}\]

Svolgete l’esercizio nel file di script my_exponential.m

Esercizio: Funzione Seno

Il valore di \(\sin(x)\) si può calcolare sfruttando la serie di Taylor:

\[S_N = \sum_{k = 0}^N \frac{-1^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\]

• Vale che \(S_N \rightarrow \sin(x)\) quando \(N \rightarrow \infty\)

Vogliamo verificarlo empiricamente:

• Calcoliamo il valore di \(S_N\) con \(N = 0..N_{max}\)
• Riportiamo i valori di \(N\) ed \(S_N\) su un grafico
• Confrontiamo il valore di \(S_{N_{max}}\) e \(\sin(x)\)

Come nel caso della serie armonica, vale:

\[S_N = S_{N-1} + \frac{-1^N x^{2N+1}}{(2N+1)!}\]

Svolgete l’esercizio nel file di script my_sin.m

Esercizio: Prodotto Cartesiano

Dati due vettori \(x\) ed \(y\) di \(n\) elementi, il loro prodotto cartesiano è:

\[\left(\begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ x_1 & y_2 \\ \vdots & \vdots \\ x_n & y_1 \\ \vdots & \vdots \\ x_n & y_n \end{array}\right)\]

Nel file di script my_cartesian.m:

• Si calcoli il prodotto cartesiano dei due vettori di test
• L’aspetto più complesso è indicizzare il vettore dei risultati
  • Un metodo: concatenare nuove righe!
  • Un altro metodo: assegnare nuove righe