Punto fisso di $\cos x$

Si calcoli il punto fisso della funzione $f(x) = \cos(\alpha x)$

Si parta dal file ch7_fpi1.m, che contiene:

• Una funzione principale che esegue una serie di operazioni

function x_f = ch7_fpi1(x0)

• La funzione principale ha lo stesso nome del file...
• ...Ed è la prima a comparire nel file

Il file contiene poi una serie di sotto-funzioni

• Queste possono avere qualunque nome...
• ...ma non sono visibili al di fuori del file

Punto fisso di $\cos x$

Nel nostro caso, tra le sotto-funzioni abbiamo:

Una funzione per visualizzare la posizione del punto fisso

function plot_function()

Una funzione per visualizzare l'andamento di $|x^{(k+1)} - x^{(k)}|$

function plot_distance(d_h)

• Dove d_h è un vettore con i valori (assoluti) della distanza

Una funzione per calcolare $\cos(\alpha x)$

function z = f(x)

Punto fisso di $\cos x$

Per risolvere l'esercizio, dobbiamo codificare la funzione:

function [x_f, d_h] = fpi(x0, n = 1000, tol = 1e-6)

Che restituisce:

• Uno scalare x_f, che indica il risultato di IPF
• Un vettore d_h, con il valore di $|x^{(k+1)} - x^{(k)}|$ ad ogni iterazione

La funzione ha come parametri:

• Il punto di partenza x0
• Il numero massimo di iterazioni n
• la tolleranza tol

Punto fisso di $\cos x$

In particolare, si codifichi la funzione:

function [e_h, x_f] = fpi(x0, n = 1000, tol = 1e-6)

Che restituisce:

• Un vettore e_h, con il valore assoluto dell'errore ad ogni iterazione
• Uno scalare x_f, che indica il risultato di IPF

Per n e tol è indicato un valore di default

• Se n o tol non sono specificati al momento della chiamata...
• ...Allora assumono il valore di default

Punto fisso di $\cos x$

Si osservi come si comporta IPF per vari valori di $\alpha$

In particolare, si provi con:

• $x_0 = 0$
• $\alpha = 0.5, 1, 1.1, 1.3, 1.4, 2, 3, 3.5$

Qualche domanda interessante:

• Quali e quanti sono i punti fissi?
• IPF converge o diverge?
• Verso quale valore?

Soluzione

Una possibile soluzione:

function [x_f, d_h] = fpi(x0, n = 1000, tol = 1e-6)
    x_f = x0;
    d_h = [];
    for k = 1:n
        x_old = x_f;
        x_f = f(x_f);
        d_h(k) = abs(x_f - x_old);
        if d_h(k) < tol
            break
        end
    end
end

Soluzione

Al crescere di $\alpha$:

• Per $\alpha < 3$ c'è un solo punto fisso
• Il numero di iterzioni necessarie per convergere cresce
• Per $\alpha > \sim 1.3$ IPF assume comportamento periodico
• Quando $\alpha = 3$ la funziona acquista un nuovo punto fisso...
• ...ed IPF ricomincia a convergere

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Equazione Non Lineare (1)

Equazione Non Lineare (1)

Si utilizzi IPF per risolvere l'equazione non lineare:

$$\frac{1}{2}x + 1 = \frac{2}{1 + e^{-2x}}$$

Si parta dal file ch7_fpi2.m. In particolare:

• Si codifichi la funzione:

function [x_f, d_h] = fpi(x0, n = 1000, tol = 1e-6)

• A partire dal codice sviluppato all'esercizio precedente
• Portando l'equazione da risolvere nella forma:

$$x = f(x)$$

Equazione Non Lineare (1)

Si osservi il comportamento di IPF:

• Quanti punti e quali sono i punti fissi?
• A che tipo di equilibrio corrispondono?
• Si utilizzino diversi valori per il punto di partenza $x_0$
• Che impatto ha utilizzare diverse forme per $f(x)$?

Soluzione

L'equazione ha tre punti fissi (in $\sim -1.915, 0, \sim 1.915$)

Soluzione

Una possibile soluzione:

function [x_f, d_h] = fpi(x0, n = 1000, tol = 1e-6)
    x_f = x0;
    d_h = [];
    for k = 1:n
        x_old = x_f;
        x_f = f(x_f); % <-- UNICA VARIAZIONE
        d_h(k) = abs(x_f - x_old);
        if d_h(k) < tol
            break
        end
    end
end

Soluzione

Una prima forma possibile per $f(x)$:

$$f(x) = 2 \left(\frac{2}{1 + e^{-2x}} -1\right)$$

Codice:

function z = f(x)
    z = 2.*(2 ./ (1 + e.^(-2.*x)) - 1);
end

• I punti fissi $\sim \pm 1.915$ sono stabili
• Il punto fisso $0$ è instabile

Soluzione

Una seconda forma possibile per $f(x)$:

$$f(x) = -\frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{^1/_2 x + 1} - 1 \right)$$

Codice:

function z = f(x)
    z = -(1/2).*log((2 ./ (0.5 .* x + 1)) - 1);
end

• I punti fissi $\sim \pm 1.915$ sono instabili
• Il punto fisso $0$ è stabile

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Distribuzione di Pressione in un
Fluido Comprimibile Isoentropico

Pressione in Fluido Isoentropico

Dal corso di Fluidodinamica, dovreste sapere che:

• In un fluido comprimibile isoentropico all'equilibrio...
• ...La pressione si distribuisce secondo l'equazione:

$$p = p_0 \left[ 1 + \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) \frac{M}{R T_0} g (z_0 - z) \right]^{\frac{\gamma}{\gamma - 1} }$$

• Mentre la temperatura si distribuisce secondo l'equazione:

$$T = T_0 \left[ 1 + \left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) \frac{M}{R T_0} g (z_0 - z) \right]$$

Pressione in Fluido Isoentropico

Sappiamo che (senza indicare le unità di misura):

$$\begin{align} & R = 8.31\\ & g = 9.81 \end{align}$$

Supponiamo di sapere che, per $z_0 - z = -10$:

$$\begin{align} & p0 = 1 && T0 = 295 \\ & T = 257.70 && p = 0.65 \end{align}$$

Quanto vale $\gamma$ e quale è la massa $M$ del fluido?

Pressione in Fluido Isoentropico

Il problema richiede di risolvere un sistema non-lineare

Inizialmente, abbiamo:

$$\begin{align} & f(\gamma, M) = 0 \\ & g(\gamma, M) = 0 \end{align}$$

• Se riusciamo a portarlo nella forma:

$$\begin{align} & f(\gamma, M) = 0 \\ & M = h(\gamma) \end{align}$$

• Allora possiamo sostituire $M$ in $f(x)$ ed usare IPF

Purtroppo, ci sono casi in cui questa operazione non è possibile

Pressione in Fluido Isoentropico

Esiste una alternative semplice e più generale

Se riusciamo a portare il sistema nella forma:

$$\begin{align} & \gamma = f(\gamma, M)\\ & M = g(\gamma, M)\\ \end{align}$$

...Possiamo ancora usare IPF!

• Nei termini usati a lezione, equivale a:

$$x = f(x)$$

• Con $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$

In altre parole: ci sono due "variabili di stato"

Pressione in Fluido Isoentropico

Risolvete il sistema, partendo dal file ch7_fpi4.m

In particolare:

• Finite la codifica della funzione:

[gm, M] = f(gm_0, M_0)

• Scegliete un valore di partenza per $\gamma$ ed $M$

Soluzione

Occorre ottenere una espressione per $\gamma$ e $M$

Una possibile formulazione:

$$\begin{align} \gamma & = \frac{1}{1 - (T - T0) \frac{R}{M} \frac{1}{g (z_0 - z)}}\\ M &= \left(\frac{p^{\frac{\gamma -1}{\gamma}}}{p0} - 1\right) \frac{\gamma}{\gamma - 1} R T_0 \frac{1}{g (z0 - z)} \end{align}$$

• Per $\gamma$ è una buona idea partire da un valore $> 1$
• Per $M$ praticamente ogni valore è buono
• La soluzione è $\gamma = 1.4573$, $M = 10.069$

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Equazione Non Lineare (2)

Equazione Non Lineare (2)

Si utilizzi IPF per risolvere l'equazione non lineare:

$$\sqrt{x} = x^2 - x + \frac{1}{2}$$

Si parta dal file ch7_fpi4.m. In particolare:

• Si codifichi la funzione:

function z = f(x)

• Utilizzata dalla funzione fpi(x0, n, tol)...
• ...Nella relazione:

$$x = f(x)$$

Equazione Non Lineare (2)

Si osservi il comportamento di IPF:

• Quanti punti e quali sono i punti fissi?
• A che tipo di equilibrio corrispondono?
• Si utilizzino diversi valori per il punto di partenza $x_0$
• Che impatto ha utilizzare diverse forme per $f(x)$?

Soluzione

L'equazione ha due punti fissi (in $\sim 0.14265, \sim 1.484$)

Soluzione

Una prima forma possibile per $f(x)$:

$$f(x) = x^2 - \sqrt{x} + 0.5$$

Codice:

function z = f(x)
    z = x.^2 - sqrt(x) + 0.5;
end

• Questa forma non converge mai
• È periodica per $x_0 < \sim 1.484$
• Diverge per $x_0 > \sim 1.484$

Soluzione

Una seconda forma possibile per $f(x)$:

$$f(x) = \left(x^2 - x + \frac{1}{2}\right)^2$$

Codice:

function z = f(x)
    z = (x.^2 - x + 0.5).^2
end

• Converge a $\sim 0.14265$ per $x_0 < \sim 1.484$
• Diverge per $x_0 > \sim 1.484$

Soluzione

Una terza forma possibile per $f(x)$:

$$f(x) = \sqrt{\sqrt{x} + x - \frac{1}{2}}$$

Codice:

function z = f(x)
    z = sqrt(sqrt(x) + x - 0.5);
end

• Converge a $\sim 1.484$ per qualunque $x_0$

Osservazione utile:

• Conviene fare in modo che $|f'(x)|$ sia più piccolo possibile