Octave ed il File System

Come ogni altro programma:

• Quando Octave viene eseguito...
• ...Viene associato ad una directory del File System

La directory corrente:

• È quella visibile nel File Browser
• Può essere cambiata, sempre utilizzando il file browser

Un consiglio:

• Create una nuova cartella per ogni esercitazione
• Prima di scrivere funzioni/script, impostatela come cartella corrente

Octave ed il File System

È possibile interagire con il File System mediante comandi

Per visualizzare il percorso della directory corrente si usa:

pwd  % sta per "Print Working Directory"

Per visualizzare il contenuto della directory corrente:

ls  % sta per "list"

Per cambiare la directory corrente:

cd <percorso> % sta per Change Directory

Octave ed il File System

Il percorso passato a cd può essere assoluto o relativo

Per esempio, partendo da questo stato:

Con "cd esercitazione4", otteniamo:

Octave ed il File System

Il percorso passato a cd può essere assoluto o relativo

Invece, partendo da questo stato:

Con "cd ..", otteniamo:

Octave ed il File System

Il percorso passato a cd può essere assoluto o relativo

Ancora, partendo da questo stato:

Con "cd ../esercitazione5", otteniamo:

I/O da File in Octave

Octave permette di leggere/scrivere dati su file

È un modo comodo per:

• Salvare informazioni importanti
• Passare dati tra programmi (e.g. Octave/Matlab/Excel)

Ci focalizziamo sui file CSV (Comma Separated Values):

• Sono file di testo
• Ogni riga corrisponde ad un vettore
• Gli elementi su ogni riga sono distinti da un separatore
  • Per esempio la virgola "," (tipicamente Linux e Mac)
  • Oppure ";" (tipicamente Win e MS Excel)

CSV: Un Esempio

Un esempio di file CSV:

1; 2; 4; 8; 16; 32
1; 3; 9; 27; 81; 243
1; 4; 16; 64; 256; 1024

• Di fatto è un formato molto semplice
• Il nome deve terminare con l'estensione ".csv"

Excel può:

• Aprire (doppio click) i csv in dui i dati sono separati con ";"
• Salvare csv in dui i dati sono separati con ";"
• Importare qualsiasi tipo di file csv

CSV in Octave

In Octave, i file CSV si leggono con:

csvread(<percorso file>);
dlmread(<percorso file>, <separatore>)

• csvread assume che il separatore sia ","
• dlmread funziona qualunque sia il separatore

<percorso file> è il percorso (relativo o assoluto) del file

• Caso importante: se il file è nella cartella corrente...
• ...il suo percorso relativo coincide con il suo nome

CSV in Octave

In Octave, i file CSV si leggono con:

csvwrite(<percorso file>, <dato>);
dlmwrite(<percorso file>, <dato>, <separatore>)

• csvwrite assume che il separatore sia ","
• dlmwrite funziona qualunque sia il separatore

Un consiglio: utilizzare dlmread/dlmwrite

• Poter passare dati facilmente da/verso Excel è molto utile

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Fattoriale degli
Elementi di un Vettore

Esercizio: Fattoriale di un Vettore

Octave fornisce la funzione:

factorial(V)

Che restituisce un vettore con il fattoriale di ogni numero in V

• Gli elementi di V devono essere numeri interi
• Il fattoriale $n!$ di un numero $n$ è definito come:

$$n! = \left\{\begin{aligned} & 1 && \text{ se } n = 0\\ & \prod_{i = 1}^n i && \text{ se } n > 0 \end{aligned}\right.$$

Esercizio: Fattoriale di un Vettore

Si definisca una funzione:

XXX_factorial(V)

Che replichi tale comportamento

• Si verifichi il funzionamento sui dati in ch5_data2.csv
• Potrebbe essere utile scrivere un file di script
• Ricordate che un file di script:
  • È un file di testo con estensione .m
  • Contiene una sequenza di comandi
  • Può essere eseguito con <nome file> + [invio]

Soluzione

Una possibile soluzione:

function z = ch5_factorial(V)
    z = [];
    for ii = 1:length(V)
        z(ii) = 1;
        for jj = 1:V(ii)
            z(ii) = z(ii) * jj;
        end
    end
end

Soluzione

Una possibile alternativa:

function z = ch5_factorial(V)
    z = zeros(1, length(V));
    for ii = 1:length(V)
        z(ii) = prod(1:V(ii));
    end
end

• Un range a:b equivale a [] se a > b
• prod([]) restituisce 1

Soluzione

Un possibile script di test:

% Carico i dati
V = dlmread('ch5_data2.csv');

% Calcolo i fattoriali
z1 = ch5_factorial(V);

% Ripeto l'operazione con la funzione di Octave
z2 = factorial(V);

% Verifico che il risultato sia corretto
all(z1 == z2)

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Plot in Octave

Plot in Octave

Molte delle funzioni di Octave operano su vettori:

• Per esempio factorial prende in ingresso un vettore
• Altro esempio: gli operatori elemento per elemento (es. .^)

Questo comportamento risulta comodo per disegnare

• Per esempio, utilizzando:

x = -5:0.1:5;
y = x.^2;

• Otteniamo velocemente un vettore di coordinate x...
• ...ed i valore di $x_i^2$ per ogni elemento $x_i$

Plot in Octave

A questo punto, si può disegnare la funzione con:

plot(x, y);

La funzione plot produce un grafico a linee

Si può decidere il formato della linea con:

plot(x, y, fmt);

Dove fmt è una stringa che decide il formato:

• Se fmt è 'b' la linea è blu, se fmt è 'r' è rossa
• Vedremo altri esempi più avanti (se siete curiosi: help o doc)

Plot in Octave

Si può disegnare più di una funzione con la sintassi:

plot(x1, y1, fmt1, x2, y2, fmt2, ...);

Per esempio, potete disegnare sia $x^2$ che $x^3$ con:

x = -5:.1:5;
plot(x, x.^2, 'b', x, x.^3, 'r')

• La linea per $x^2$ sarà blu
• La linea per $x^3$ sarà rossa

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Valutazione di Polinomi

Esercizio: Valutazione di Polinomi

Octave permette di valutare un polinomio con:

polyval(p, X)

Dove:

• X contiene i valori per cui fare la valutazione
• p è un vettore di $n$ coefficienti che definiscono il polinomio:

$$p_1 x^{n-1} + p_2 x^{n-2} + \ldots + p_n$$

Per esempio polyval([3, 0, 4], 2) restituisce:

$$3 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 4 = 16$$

Esercizio: Valutazione di Polinomi

Si definisca una funzione:

XXX_polyval(X)

Che replichi tale comportamento

• Suggerimento: prima si assuma che X sia uno scalare...
• ...poi si estenda la funzione per gestire un vettore

Per verificare che tutto funzioni:

• Valutate un polinomio con XXX_polyval e con polyval
• Disegnate le funzioni ottenute (sullo stesso plot)
• Se le due curve sono sovrapposte, va tutto bene

Soluzione

Una possibile soluzione:

function z = ch5_polyval(p, X)
    z = 0;
    for ii = 1:length(p)
        z = z + p(ii) .* X.^(length(p)-ii);
    end
end

Idea generale: elevo ad esponente tutte le X e sommo

• Funziona sia per X scalare che per X vettore...
• ...Perché +, .* e .^ operano elemento per elemento

Soluzione

Una soluzione alternativa:

function z = ch5_polyval(p, X)
    n = length(p)-1:-1:0; % esponenti
    z = [];
    for ii = 1:length(X)
        z(ii) = dot(p, X(ii).^n); % prodotto scalare
    end
end

Idea generale: elevo ciascuna X a tutti gli esponenti e sommo

• Uso il prodotto scalare per applicare i coefficienti e sommare

Soluzione

Un possibile script di test:

% Definisco un polinomio
p = [1, 3, -2, -1, 7];
% Definisco i valori per cui va calcolato
X = -5:.1:5;

% Valuto il polinomio utilizzando i due metodi
Z0 = ch5_polyval(p, X);
Z1 = polyval(p, X);

% Disegno le due curve
plot(X, Z0, 'b', X, Z1, 'r')

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Espansione in Serie di Taylor

Esercizio: Espansione in Serie di Taylor

Data una funzione $f$ ed un punto $x_0$, la serie di Taylor:

• Permette di rappresentare la funzione come un polinomio...
• ...avente un numero infinito di termini

$$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!} (x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} (x - x_0)^2 + \ldots$$

In forma compatta:

$$f(x) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{f^{(i)}}{i!} (x-x_0)^i$$

• Requisito: $f$ deve essere infinitamente differenziabile in $x_0$
• Caveat: per alcune funzioni la rappresentazione non è esatta

Esercizio: Espansione in Serie di Taylor

Considerando solo $n$ termini:

• Otteniamo una approssimazione di $f$ in ogni punto
• Calcolata conoscendo, per un solo punto $x_0$:
  • Il valore di $f(x_0)$
  • Il valore di tutte le derivate, sempre in $x_0$

Un caso facile: $e^x$

• Per $x_0 = 0$, la funzione $e^x$ vale $1$...
• ...e tutte le derivate di $e^x$ valgono $1$

Esercizio: Espansione in Serie di Taylor

Si definisca una funzione:

XXX_taylor_exp(X, n)

Che approssimi $e^x$ utilizzando la serie di Taylor per $x_0 = 0$:

• Si considerino solo i primi n termini della serie
• Si valuti l'approssimazione per tutti i valori $x_i$ nel vettore X

Per verificare se funziona:

• Calcolate il valore di $e^x$ per un certo range
• Calcolate il valore dell'approssimazione
• Disegnate le due curve (provate a cambiare n)

Soluzione

Una possibile soluzione:

function z = ch5_taylor_exp(x, n)
    z = 1; % termine di ordine 0
    for ii = 1:n
        % calcolo il coefficiente del polinomio
        % di Taylor di ordine ii
        c = 1 / factorial(ii);
        % sommo un termine del polinimio
        z = z + c .* x.^ii;
    end
end

Soluzione

Una alternativa:

function z = ch5_taylor_exp(x, n)
    % Calcolo i coefficienti del polinomio di Taylor
    c = 1./factorial(n:-1:0);
    % Valuto il polinomio
    z = polyval(c, x);
end

Soluzione

Un possibile script di test:

n = 5; % Decido il valore di n
x = 0:.2:4; % Il range per il disegno
z1 = e.^x; % I valori di e^x

% Calcolo l'approssimazione
z2 = ch5_taylor_exp(x, n);

% Disegno le due curve
plot(x, z1, 'b', x, z2, 'r');

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Divisioni Ripetute

Esercizio: Divisioni Ripetute

Per ottenere la rappresentazione binaria di un intero $n$ si usa:

dec2bin(n)

• Funziona solo se $n$ non ha parte frazionaria
• Restituisce una stringa

Si definisca una funzione:

XXX_dec2bin(n)

• Che faccia lo stesso, utilizzando il metodo delle divisioni ripetute
• Per semplicità, si restituisca un vettore di 0/1
• Si verifichi la correttezza confrontandosi con la funzione di Octave

Esercizio: Divisioni Ripetute

Alcune informazioni utili:

• La divisione intera si fa con:

idivide(<dividendo>, <divisore>)

• Il resto della divisione intera si ottiene con:

mod(<dividendo>, <divisore>)

Soluzione

Una possibile soluzione:

function z = ch5_dec2bin(n)
    z = [];
    ii = 1;
    while n > 0
        z(ii) = mod(n, 2);
        n = idivide(n, 2);
        ii = ii + 1;
    end
    % Inverto la sequenza dei bit
    z = z(end:-1:1);
end

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Moltiplicazioni Ripetute

Esercizio: Moltiplicazioni Ripetute

Si definisca una funzione:

XXX_dec2bin_f(x)

Che, dato un numero reale $x$ in $]0, 1[$

• Restituisca la sua rappresentazione binaria (vettore di 0/1)...
• ...Ottenuta mediante il metodo delle moltiplicazioni ripetute
• Si interrompa il calcolo alla $10^a$ cifra binaria

Si noti che non è necessario rappresentare il separatore "."

• La parte intera si può ottenere con

fix(<dato>)

Soluzione

Una possibile soluzione:

function z = ch5_dec2bin_f(n)
    z = [];
    for ii = 1:10
        y = n * 2;
        z(ii) = fix(y);
        n = y - z(ii);
    end
end

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Somma di Matrici

Esercizio: Somma di Matrici

Si definisca una funzione:

XXX_msum(A, B)

Che calcoli a somma di due matrici

• Si eviti di utilizzare l'operatore + applicato a vettori
  • In altre parole: sommate gli elementi uno ad uno
• Si verifichi la correttezza usando i metodi di Octave

Soluzione

Una possibile soluzione:

function Z = ch4_msum(A, B)
    m = rows(A);
    n = columns(A);
    Z = zeros(m, n);
    for ii = 1:m
        for jj = 1:n
            Z(ii, jj) = A(ii,jj) + B(ii,jj);
        end
    end
end

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Trasposizione di Matrice

Esercizio: Trasposizione di Matrice

Si definisca una funzione:

XXX_transpose(A)

Che calcoli la trasposizione della matrice A

• Si verifichi la correttezza usando i metodi di Octave

Soluzione

Una possibile soluzione:

function Z = ch4_msum(A)
    m = rows(A);
    n = columns(A);
    Z = zeros(n, m);
    for ii = 1:m
        for jj = 1:n
            Z(jj, ii) = A(ii,jj);
        end
    end
end

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Prodotto Matriciale

Esercizio: Prodotto Matriciale

Si definisca una funzione:

XXX_mprod(A, B)

Che calcoli il prodotto matriciale di A e B

• Si verifichi la correttezza usando i metodi di Octave

Soluzione

Una possibile soluzione:

function Z = ch4_mprod(A, B)
    m = rows(A);
    n = columns(B);
    Z = zeros(m, n);
    for ii = 1:m
        for jj = 1:n
            % Qui potrei usare anche "dot"
            Z(ii,jj) = A(ii,:) * B(:, jj);
        end
    end
end

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Conteggio di Elementi

Esercizio: Conteggio di Elementi

Si definisca una funzione:

[U, C] = XXX_count(V)

Che, dato un vettore di ingresso V, restituisca U e C tali che:

• U contenga gli elementi distinti di V
• Per ogni v in U, C contenga il numero di occorrenze di v in U

In altre parole, la funzione deve contare le occorrenze di ogni elemento.

• Si sperimenti la funzione sui dati nel file ch5_data1.csv
• I risultati sono in ch5_count_u.csv e ch5_count_c.csv
• I file sono scaricabili dal sito del corso

Soluzione

Una possibile soluzione:

function [U, C] = ch5_count(V)
    U = unique(V);
    C = zeros(1, length(U));
    for ii = 1:length(U)
        for jj = 1:length(V)
            if V(jj) == U(ii)
                C(ii) = C(ii) + 1;
            end
        end
    end
end

Soluzione

Una alternativa:

function [U, C] = ch5_count(V)
    U = unique(V);
    C = zeros(1, length(U));
    for ii = 1:length(U)
        C(ii) = sum(V == U(ii));
    end
end

Soluzione

Un possibile script di test:

% Carico i dati
V = dlmread('ch5_data1.csv');
% Ottengo gli elementi unici ed i conteggi
[U, C] = ch5_count(V); 
% Carico le soluzioni
U2 = dlmread('ch5_count_u.csv');
C2 = dlmread('ch5_count_c.csv');
% Controllo che i risultati siano corretti
all(U == U2)
all(C == C2)

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Somma di Fattoriali

Esercizio: Somma di Fattoriali

Si definisca una funzione:

XXX_serie_fatt(n)

Che calcoli per un ordine $n$ il valore della serie:

$$\sum_{i = 1}^n i!$$

Si provi a definire la funzione utilizzando:

• Due cicli innestati
• Un solo ciclo
• Nessun ciclo

Soluzione

Una possibile soluzione con cicli innestati:

function z = ch5_serie_fatt(n)
    z = 0;
    for ii = 1:n
        % calcolo il fattoriale di ii
        fatt = 1;
        for jj = 1:ii
            fatt = fatt * jj;
        end
        % sommo il fattoriale
        z = z + fatt;
    end
end

Soluzione

Una possibile soluzione con un solo ciclo:

function z = ch5_serie_fatt(n)
    z = 0;
    for ii = 1:n
        % calcolo il fattoriale di ii
        fatt = prod(1:ii); % oppure factorial(ii);
        % sommo il fattoriale
        z = z + fatt;
    end
end

• L'idea è di rimpiazzare un ciclo con una chiamata a funzione

Soluzione

Un'altra possibile soluzione con un solo ciclo:

function z = ch5_serie_fatt(n)
    z = 0;
    fatt = 1;
    for ii = 1:n
        % aggiorno il fattoriale di ii
        fatt = fatt * ii;
        % sommo il fattoriale
        z = z + fatt;
    end
end

• Idea: calcolo del fattoriale sulla base dei risultati precedenti

Soluzione

Una soluzione senza cicli

function z = ch5_serie_fatt(n)
 z = sum(factorial(1:n));
end

• Utilizzo funzioni che operano su vettori
• In realtà i cicli ci sono, ma nelle funzioni sum e factorial

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Derivata di un Polinomio

Esercizio: Derivata di un Polinomio

La derivata di un polinomio:

$$p_1 x^{n-1} + p_2 x^{n-2} + \ldots + p_n$$

È un polinomio:

$$(n-1) p_1 x^{n-2} + (n-2) p_2 x^{n-3} + \ldots + p_{n-1}$$

Octave permette di calcolarlo utilizzando:

polyder(p)

• Si definisce una funzione XXX_polyder(p)...
• ...Che replichi tale comportamento

Soluzione

Una possibile soluzione:

function p2 = ch4_polyder(p)
    n = length(p)-1; % ordine del polinomio
    % Coefficienti dovuti alla derivazione dei monomi
    ce = n:-1:1;
    % Primi n coefficienti del polinomio originale
    cp = p(1:n);
    % Faccio il prodotto ed ottengo la derivata
    p2 = ce .* cp;
end

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Integrale di un Polinomio

Esercizio: Integrale di un Polinomio

L'integrale di un polinomio:

$$p_1 x^{n-1} + p_2 x^{n-2} + \ldots + p_n$$

È un polinomio:

$$\frac{1}{n} p_1 x^{n} + \frac{1}{n-1} p_2 x^{n-1} + \ldots + p_n x$$

Octave permette di calcolarlo utilizzando:

polyint(p)

• Si definisce una funzione XXX_polyint(p)...
• ...Che replichi tale comportamento

Soluzione

Una possibile soluzione:

function p2 = ch4_polyint(p)
    n = length(p)-1; % ordine del polinomio
    % Coefficienti dovuti all'integrazione dei monomi
    ce = 1 ./ (n+1:-1:1);
    % Integrale per i primi n termini del polinomio
    p2 = ce .* p;
    % Estendo il polinomio risultato con uno 0
    p2(end+1) = 0;
end

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio: Permutazione Inversa

Esercizio: Permutazione Inversa

Si può ottenere una permutazione dei numeri da $1$ a $n$ con:

randperm(n)

• La permutazione è casuale
• È un buon modo per "mescolare" un vettore...
• ...Una operazione importante nelle simulazioni

Esempio:

v = [2, 4, 6, 8];
p = randperm(length(v)) % denota (e.g.) [2, 4, 1, 3]
w = v(p) % [4, 8, 2, 6]

Esercizio: Permutazione Inversa

Si definisca una funzione:

XXX_invperm(v1, v2)

Che, dati due vettori contenenti gli stessi elementi in ordine diverso:

• Restituisce un vettore w tale che...
• ...w contiene le posizioni in v2 degli elementi di v1

v2 è una sorta di permuazione inversa:

• Se per un vettore p abbiamo che v1(p) == v2...
• ...e p2 = XXX_invperm(v1, v2)
• ...Allora v2(p2) == v1

Soluzione

Una possibile zSoluzione:

function p = ch4_invperm(v1, v2)
    n = length(v1);
    p = zeros(1, n);
    for ii = 1:n
        for jj = 1:n
            if v1(ii) == v2(jj)
                p(ii) = jj;
                break; % interrompe il ciclo su jj
            end
        end
    end
end

Soluzione

Una possibile alternativa:

function p = ch4_invperm(v1, v2)
    n = length(v1);
    p = zeros(1, n);
    for ii = 1:n
        p(ii) = find(v2 == v1(ii));
    end
end

Soluzione

Un possibile script di test:

v1 = [4, 7, 9, 1, 5] % costruisco un vettore
p = randperm(length(v1)) % permutazione casuale
v2 = v1(p) % "Mescolo" v1

% Calcolo la permutazione inversa
p2 = ch4_invperm(v1, v2)

% stampo il risultato dell'indicizzazione con p2.
% Deve essere uguale a v1
v2(p2)