Esercizio 1

Per determinare il comportamento reostatico di un fluido...
...È stata fatta una serie di misurazioni di $\tau$ e $\dot{\gamma}$

I valori misurati sono:

$\begin{align} & \tau = [15.90887, 16.70269, 19.44417, 23.86330, 32.70156]\\ & \dot{\gamma} = [10.47198, 20.94395, 52.35988, 104.7198, 209.4395] \end{align}$

Si desidera:

Determinare di che tipo è il fluido
Determinare i parametri della relazione tra $\tau$ e $\dot{\gamma}$

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Applicazioni Numeriche T

Esercizio 2

Una palla si muove su una curva parabolica:

Esercizio 2

La curva è definita dall'equazione:

$\phi(x) = \frac{1}{8} x^2$

La palla è inizialmente ferma ed è soggetta alla forza di gravità
La palla ha come coordinata $x$ iniziale $-L = -3\, m$

Si determini:

La posizione dopo 2 secondi
Quanto tempo occorre per raggiungere il punto centrale
La velocità nel punto centrale

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Esercizio 3

Un serbatoio atmosferico scarica acqua attraverso una condotta:

Il serbatoio è cilindrico, con un raggio di $40\, cm$
La condotta è lunga $10\, m$ ed ha un diametro di $7\, cm$
La scabrezza della condotta è di $0.5\, mm$
Il serbatoio contiene inizialmente $3\, m$ d'acqua
Per le perdite concentrate dell'imbocco, si consideri $k = 0.5$

Esercizio 3

I dati del problema in sintesi:

Esercizio 3

Un serbatoio atmosferico scarica acqua attraverso una condotta:

Il serbatoio è cilindrico, con un raggio di $40\, cm$
La condotta è lunga $10\, m$ ed ha un diametro di $7\, cm$
La scabrezza della condotta è di $0.5\, mm$
Il serbatoio contiene inizialmente $3\, m$ d'acqua
Per le perdite concentrate dell'imbocco, si consideri $k = 0.5$

Modificando il programma presenten nello start-kit, si determini:

La quantità d'acqua nel serbatoio dopo $300\, s$
L'andamento nel tempo del livello del serbatoio, mediante plot
Il livello iniziale del serbatoio perché esso si svuoti in $200\, s$

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Esercizio 4

Una palla si muove su una semicirconferenza:

Esercizio 4

La curva è definita dall'equazione (con $r = 15\, m$ ):

$x^2 + (y-r)^2 = r^2$

La palla è inizialmente ferma ed è soggetta alla forza di gravità
La palla ha come coordinata $x$ iniziale $a = -7\, m$

Si determini:

Mediante grafico, l'andamento della velocità nel tempo
Mediante grafico, l'andamento della posizione sull'asse $x$
Il valore di $a$ perché la velocità sia $5\, m/s$ nel punto centrale
- Nota: le altre condizioni sulla posizione inziale sono invariate

# Prossime lezioni Shooting method - Esempio EDO: determinazione esatta della velocità massima - Generale: determinazione dello stato stazionario di un sistema dinamico - Annullamento di dv: soluzione analitica o metodo di Newton In generale: ottimizzazione non vincolata - Metodo di Newton per l'ottimizzazione - Esempio: ottimizzazione con derivata difficile da calcolare Interpolazione con congiunzione senza soluzione di continuità macchina su traiettoria derivate dipendenti dal tempo lunghezza di una curva macchina in curva Teoria della probabilità Statistica descrittiva? Random Number Generation Simulatori # Esercizi guidati Vasi comunicanti Quantità d'acqua dopo N secondi - EDO classica Livello dopo1 N secondi - Trasformazione dei dati di uscita Livello finale dei due vasi - Stato stazionario Livello inziale per avere equilibrio dopo N secondi - Inversione del tempo - Stato stazionario - Piccola perturbazione dell'equilibrio # Remeber to explain: array concatenation memorizzazione delle matrici in memoria continue (magari nella lezione sull'ottimizzazione) trattamento degli argomenti non specificati Gestione errori (error/warning) Debugging I/O semplice + disp + printf? Per stampare con precisione alta # Possibili esercizi: determinant computation (recursive!) factorial computation (recursive!) matrix argument to vector operation - a good occasion to explain multiple functions in a single file sieve of erathostenes other algorithms to find prime numbers? permutations - Permute vectors - Permute rows/columns of a matrix Taylor series expansion? convolution? bubble sort / naive sort comparison functions set operations - intersection - union - substract? - powerset? continued fraction expansion Coordinate conversion (cartesian, polar) Some matrix factorizations/decompositions? - Choleski - LU decomposition - QR factorization - Singular Value Decomposition Gradient descent Newton method Fixed point iteration Bisection method - bracket a zero - convex optimization Minimization by repeated evaluation Golden section search Numeric gradient/Jacobian/Hessian Nelder-Mead? RNG algorithms (something simple) Using diagonal matrices for scaling Integration methods: - Numerical integration based on Gaussian quadrature. - Numerical integration using an adaptive vectorized Simpson’s rule. - Numerical integration using an adaptive Lobatto rule. - Numerical integration using an adaptive Gauss-Konrod rule. - Numerical integration using adaptive Clenshaw-Curtis rules. - Numerical integration of data using the trapezoidal method. Multi-dimensional integration? - Recursive appraoch - Orthogonal collocation ODE - algo? - reduction to first order Optimization? - LP, QP (null-space active-set method)... the algos are too complex - QP: basic method for convex problems? Zero-gradient - NLP via sequential quadratic programming - Least Square method? Descriptive statistics - Mean - Median - Variance - Stdev (second moment, statistic bias -- maybe this one later) - Mode? - Quartiles, quantiles - Explain histograms, too? - Histogram count computation - correlation/covariance? "True" statistics & probability theory - stat plots - unbiased estimators - some probability distributions - central limit theorem - Distributions - pdf, cdf, quantiles - One or two stat tests? - Confidence intervals? Generate permutations? Centering / Normalization Polynomials - Representation? - Horner's method? - Roots of a polynomial: Frobenius companion matrix, eigenavalues - poles? Interpolation - Nope - Use variable transformation for power law fitting Verifica stato di un elemento di un array Sort by argument Calcolo della radice quadrata Serie di Taylor (per calcolare una funzione) Goal: algoritmi + complessi ed esempi di propagazione degli errori valutazione di un polinomio (trivial) valutazione di un polinomio (Horner) Somme: - Somma "normale" - Somma gerarchica - Somma di Kahan Numeri interi - identificazione di numeri primi - fattorizzazione in numeri primi (trial division) Algoritmi di ordinamento: - Solo naive sort e bubble sort RNG - un algoritmo semplice - esempi di utilizzo di RNG in Octave Valutazione di una funzione a gradini - Lookup in una tabella chiave-valore - Valutazione in punti multipli Numeri interi ed algoritmi - Interi in Octaves - Promozione/demozione? - sieve of erathostenes (magari nella lezione 3) - fattorizzazione in numeri primi (trial division) - GCD GCD: q = gcd a = n_a q // q è il GCD di a e b b = n_b q // q è il GCD di a e b a = p b + r // divisione di a per b Quindi: n_a q = a = p b + r = p n_b q + r Quindi n_a = p n_b + r / q Deve venire un intero => r/q deve essere intero => r è divisibile per q Si dovrebbe poter fare lo stesso ragionamento anche per la sottrazione

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Esercizio 1

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