Esercizio 1

Si integri sull'intervallo $a = \varepsilon$ e $b = 3$ la funzione:

$f(x) = x \sin \left(\frac{1}{x}\right) \sqrt{\left|1 - x\right|}$

Dove $\varepsilon$ è l'epsilon di macchina (eps) in Octave

Si effetti l'initegrazione con:

quad (quadratura di Gauss)
quadv (regola si Simpson adattativa)
quadcc (metodo di Clenshaw-Curtis)
trapz (regola dei trapezi)

Per ogni metodo si visualizzi il risultato ed il numero di valutazioni di $f(x)$

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Applicazioni Numeriche T

Esercizio 2

Una BMW-i8 si lancia a tutta birra su una pista rettilinea

Esercizio 2

Una BMW-i8 si lancia a tutta birra su una pista rettilinea

L'auto ha una massa di $161\, Kg$
Si assuma che il motore eserciti una forza costante di $1000\, N$
Si assuma che l'unica (altra) forza coinvolta sia l'attrito dell'aria:

$F_D = \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A$

Dove abbiamo che:

$\rho \simeq 1.25$ (densità dell'aria)
$A = 1.2$ (superficie esposta)
$C_D = 0.26$ (resistenza aerodinamica)

Esercizio 2

Si modelli il sistema con una EDO

Si ricordi che l'auto parte da ferma e che si muove su un rettilineo

Quale velocità raggiunge l'auto?
In quanto tempo vengono raggiunti i $100\, Km/h$ ( $\sim 27.7 \, m/s$ )
Quanta strada viene percorsa per arrivare a velocità massima?

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Esercizio 3

Sia data una serie di misurazioni delle valocità di un fluido in condotta:

Le posizione $x$ delle misurazioni sono: $2, 8, 13, 16, 19\, cm$
I valori misurati sono: $1.22, 1.48, 1.5, 1.53, 1.18\, m/s$
La condotta ha un diametro di $20\, cm$

Domanda 1:

Si determini la velocità media nella condotta con il metodo dei trapezi

Domanda 2:

Si determini la velocità media con una interpolazione...
...E si integri poi la funzione interpolante
Potete usare sia una integrazione numerica che una analitica

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Esercizio 4

Una serbatoio atmosferico scarica acqua per una condotta

Il serbatoio contiene 4 m d'acqua e ha un raggio di 40cm
La condotta è lunga 30m ed ha un diametro di 10cm
La scabrezza della condotta è di 1mm
Per l'imbocco della condotta, si consideri $k = 0.5$

Esercizio 4

I dati del problema in sintesi:

Esercizio 4

Una serbatoio atmosferico scarica acqua per una condotta

Il serbatoio contiene 4 m d'acqua e ha un raggio di 40cm
La condotta è lunga 30m ed ha un diametro di 10cm
La scabrezza della condotta è di 1mm
Per l'imbocco della condotta, si consideri $k = 0.5$

Si determini in quanto tempo si svuota il serbatoio

Si modelli il sistema con una EDO e la si risolva numericamente
Si parta da un programma che determina la portata al tempo 0
Si modifichi il programma in modo che risolva la EDO

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Esercizio 5

Si risolve l'esercizio 2 (la BMW) con:

Il metodo di Eulero
Il metodo di Eulero inverso
Il metodo del punto intermedio

Per semplicità, si modelli solamente la velocità dell'auto

Mediante plot, ed utilizzando lsode come riferimento:

Si verifichi l'accuratezza dei vari metodi...
...Considerando 30 punti nell'intervallo 0-60 secondi
Provate poi a variare il numero di punti campionati

Esercizio 5

In particolare, si codifichino i tre metodi mediante funzioni:

Metodo di Eulero: nel file edo_eulero.m

function x = edo_eulero(f, x0, t)

Metodo di Elulero inverso: nel file edo_eulero2.m

function x = edo_eulero2(f, x0, t)

Metodo del punto intermedio: nel file edo_puntomedio.m

function x = edo_puntomedio(f, x0, t)

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Esercizio 6

Si consideri il serbatoio dell'esercizio 4

Si assume che il serbatoio riceva un apporto d'acqua addizionale
In particolare, al tempo $t$ l'acqua in ingresso è data da:

$Q_2 = 0.01 \sin\left(2 \pi \frac{t}{60}\right)$

Quale è il livello del serbatoio dopo 100 secondi?

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Esercizio 7

Si consideri una palla in modo su una traiettoria parabolica:

Esercizio 7

Si consideri una palla in modo su una traiettoria parabolica:

La parabola è descritta dall'equazione:

$y = 0.2 x^2$

La palla è soggetta solo alla forza di gravità
La palla è inzialmente in poziione $x = -2$
La palla è inizialmente ferma

Si modelli il modo della palla con una EDO

Si mostri l'andamento nel tempo della velocità (tangenziale)
Si mostri l'andamento nel tempo della posizione

Esempi di calcolo integrale con flussimetri? Integrazione: Formule di Newton-Cotes - Regola del punto medio - Regola dei trapezoidi - Regola di Simpson - Regole composite Due casi: - Funzione nota per formula, pesi precomputati - Funzione nota per punti, pesi da calcolare Animazioni? Soluzione di equazioni differenziali: Formulazione: ODE del primo ordine (problema del valore iniziale) Ordine multiplo: riducibile al primo ordine Metodo di Eulero - In avanti (esplicito) - All'indietro (implicito) Metodi di Runge-Kutta? Scelta del valore di x iniziale in NR Funzioni anonime Plotting? Linspace figure salvare figure Piano (Vecchia lezione): Tipi di convergenza: [SPOSTARE DOPO IL CASO NON-LINEARE] - Lineare, sublineare, superlineare Differenze con il caso lineare: - Bacini di attrazione (sono un casino: possono essere discontinui...) Un caso particolare: radici di polinomi - Per adesso focalizziamoci sul trovare una sola radice - Primo approccio: riduzione al caso non lineare + Problema: condizioni di convergenza - Secondo approccio: + Usiamo la matrice compagna + Se troviamo gli autovalori, troviamo le radici + Come è definito un autovalore? + Facile, ma c'è lambda tra le scatole + Eliminiamolo + Rinunciamo a trovare l'autovettore: ci accontentiamo di un suo multiplo (che ha lo stesso comportamento) + Alé! Possiamo applicare l'iterazione di punto fisso + Alla fine troviamo un vettore unitario con la stessa direzione di un autovettore + Come trovare l'autovalore? Rapporto tra i coefficienti di due vettori successivi (qualunque coefficiente, basta che sia non nullo) + Osservazione: riduzione ad un caso non lineare + Converge? Condizioni + Produce sempre l'autovalore con valore assoluto più grande - Trovare tutte le radici: regola di Ruffini (divisione sintetica) Fix-point iteration Fix-point iteration - Calcolo della radice quadrata? Attrattori? - Punti fissi attrattivi - Bacino di attrazione Teorema del punto fisso di Banach? Power iteration/power method - Condizioni di convergenza? - Dim. di convergenza all'autovalore maggiore? - Non è che a loro interessi tanto... Bracketing methods Teorema del punto intermedio Ricerca lineare Metodo di bisezione Regula falsi NOTA: non sono riducibili a fix-point iteration Non-bracketing methods Metodo delle secanti Metodo di Newton Radici di un polinomio? - Metodo di Horner + Newton - Companion matrix + power method? Errori? Calcolo della derivata Cancellazioni? Evitate nella regula falsi Remeber to explain: Multi variate functions applied to vectors subfunctions array concatenation memorizzazione delle matrici in memoria continue (magari nella lezione sull'ottimizzazione) trattamento degli argomenti non specificati return Gestione errori (error/warning) Debugging Prossime volte: determinant computation (recursive!) factorial computation (recursive!) matrix argument to vector operation - a good occasion to explain multiple functions in a single file sieve of erathostenes other algorithms to find prime numbers? permutations - Permute vectors - Permute rows/columns of a matrix Taylor series expansion? convolution? bubble sort / naive sort comparison functions set operations - intersection - union - substract? - powerset? continued fraction expansion Coordinate conversion (cartesian, polar) Some matrix factorizations/decompositions? - Choleski - LU decomposition - QR factorization - Singular Value Decomposition Gradient descent Newton method Fixed point iteration Bisection method - bracket a zero - convex optimization Minimization by repeated evaluation Golden section search Numeric gradient/Jacobian/Hessian Nelder-Mead? RNG algorithms (something simple) Using diagonal matrices for scaling Integration methods: - Numerical integration based on Gaussian quadrature. - Numerical integration using an adaptive vectorized Simpson’s rule. - Numerical integration using an adaptive Lobatto rule. - Numerical integration using an adaptive Gauss-Konrod rule. - Numerical integration using adaptive Clenshaw-Curtis rules. - Numerical integration of data using the trapezoidal method. Multi-dimensional integration? - Recursive appraoch - Orthogonal collocation ODE - algo? - reduction to first order Optimization? - LP, QP (null-space active-set method)... the algos are too complex - QP: basic method for convex problems? Zero-gradient - NLP via sequential quadratic programming - Least Square method? Descriptive statistics - Mean - Median - Variance - Stdev (second moment, statistic bias -- maybe this one later) - Mode? - Quartiles, quantiles - Explain histograms, too? - Histogram count computation - correlation/covariance? "True" statistics & probability theory - stat plots - unbiased estimators - some probability distributions - central limit theorem - Distributions - pdf, cdf, quantiles - One or two stat tests? - Confidence intervals? Generate permutations? Centering / Normalization Polynomials - Representation? - Horner's method? - Roots of a polynomial: Frobenius companion matrix, eigenavalues - poles? Interpolation - Nope - Use variable transformation for power law fitting Verifica stato di un elemento di un array Sort by argument Calcolo della radice quadrata Serie di Taylor (per calcolare una funzione) I/O semplice + disp + printf? Per stampare con precisione alta Goal: algoritmi + complessi ed esempi di propagazione degli errori valutazione di un polinomio (trivial) valutazione di un polinomio (Horner) Somme: - Somma "normale" - Somma gerarchica - Somma di Kahan Numeri interi - identificazione di numeri primi - fattorizzazione in numeri primi (trial division) Algoritmi di ordinamento: - Solo naive sort e bubble sort RNG - un algoritmo semplice - esempi di utilizzo di RNG in Octave Valutazione di una funzione a gradini - Lookup in una tabella chiave-valore - Valutazione in punti multipli Numeri interi ed algoritmi - Interi in Octaves - Promozione/demozione? - sieve of erathostenes (magari nella lezione 3) - fattorizzazione in numeri primi (trial division) - GCD GCD: q = gcd a = n_a q // q è il GCD di a e b b = n_b q // q è il GCD di a e b a = p b + r // divisione di a per b Quindi: n_a q = a = p b + r = p n_b q + r Quindi n_a = p n_b + r / q Deve venire un intero => r/q deve essere intero => r è divisibile per q Si dovrebbe poter fare lo stesso ragionamento anche per la sottrazione

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Esercizio 1

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