Esercizio 1

Sia dato un serbatoio atmosferico che serve acqua per una condotta:

L'altezza del pelo libero è di 15 m
La condotta è lunga 100 m
Il diametro è di 15 cm
La scabrezza è di 1 mm
Allo sbocco, va garantita una pressione di 1 bar
La condotta contiene un gomito, con $\kappa = 0.5$
Per l'imbocco della condotta, si consideri $\kappa = 0.5$

Si determinini la portata in uscita (in L/s)

Esercizio 1

In sintesi, la situazione è la seguente:

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio 2

Sia dato un serbatoio atmosferico che serve acqua per una condotta:

L'altezza del pelo libero è di 13 m
La condotta è lunga 100 m
La scabrezza è di 0.5 mm
A valle, va garantita una pressione di 1 bar
La condotta contiene un gomito, con $\kappa = 0.5$
Per l'imbocco della condotta, si consideri $\kappa = 1$

Si determinini il diametro per avere una portata di 25 L/s

Esercizio 2

In sintesi, la situazione è la seguente:

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio 3

Due serbatoi atmosferici comunicano attraverso una condotta

L'altezza dei peli liberi è rispettivamente 3 m e 1 m
La condotta ha una tratta lunga 20 m, con diametro 5 cm...
...e una seconda tratta lunga 5 m, con diametro 10 cm
La scabrezza è di 0.5 mm
La prima tratta della condotta presenta un sifone
Si cosiderino le perdite di carico all'imbocco e in uscita
Si cosiderino le perdite di carico dovute all'allargamento

Si determinini la portata (in L/s) e la velocità nelle due tratte

Esercizio 3

In sintesi, la situazione è la seguente:

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio 4

Siano date delle misurazioni di deformazione per un pezzo meccanico:

Esercizio 4

Siano date delle misurazioni di deformazione per un pezzo meccanico:

Si calcoli il valore approssimato della derivata per $x=2$

Esercizio 4

L'esercizio può essere risolto:

Ottenendo una funzione approssimante (minimi quadrati)
Derivando la funzione approssimata...
...E calcolando il valore della derivata $x = 2$

Per maggiori dettagli, si veda la registrazione della lezione

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio 5

Due serbatoi atmosferici comunicano attraverso una condotta

Il primo serbatoio contiene 3 m di acqua, il secondo 1 m
Il primo serbatoio è posto 7 metri sopra il secondo
La condotta una tratta lunga 40 m, con diametro 5 cm...
...e una seconda tratta lunga 10 m, con diametro 10 cm
La prima tratta della condotta presenta un gomito
Si cosiderino le perdite di carico all'imbocco e in uscita
Si cosiderino le perdite di carico dovute all'allargamento

Si determinini la scabrezza per avere una portata di 4 L/s

Si termini anche la velocità nelle due tratte

Esercizio 5

In sintesi, la situazione è la seguente:

Prossima lezione Esempi di calcolo integrale con flussimetri? Integrazione: Formule di Newton-Cotes - Regola del punto medio - Regola dei trapezoidi - Regola di Simpson - Regole composite Due casi: - Funzione nota per formula, pesi precomputati - Funzione nota per punti, pesi da calcolare Animazioni? Soluzione di equazioni differenziali: Formulazione: ODE del primo ordine (problema del valore iniziale) Ordine multiplo: riducibile al primo ordine Metodo di Eulero - In avanti (esplicito) - All'indietro (implicito) Metodi di Runge-Kutta? Scelta del valore di x iniziale in NR Funzioni anonime Plotting? Linspace figure salvare figure Piano (Vecchia lezione): Tipi di convergenza: [SPOSTARE DOPO IL CASO NON-LINEARE] - Lineare, sublineare, superlineare Differenze con il caso lineare: - Bacini di attrazione (sono un casino: possono essere discontinui...) Un caso particolare: radici di polinomi - Per adesso focalizziamoci sul trovare una sola radice - Primo approccio: riduzione al caso non lineare + Problema: condizioni di convergenza - Secondo approccio: + Usiamo la matrice compagna + Se troviamo gli autovalori, troviamo le radici + Come è definito un autovalore? + Facile, ma c'è lambda tra le scatole + Eliminiamolo + Rinunciamo a trovare l'autovettore: ci accontentiamo di un suo multiplo (che ha lo stesso comportamento) + Alé! Possiamo applicare l'iterazione di punto fisso + Alla fine troviamo un vettore unitario con la stessa direzione di un autovettore + Come trovare l'autovalore? Rapporto tra i coefficienti di due vettori successivi (qualunque coefficiente, basta che sia non nullo) + Osservazione: riduzione ad un caso non lineare + Converge? Condizioni + Produce sempre l'autovalore con valore assoluto più grande - Trovare tutte le radici: regola di Ruffini (divisione sintetica) Fix-point iteration Fix-point iteration - Calcolo della radice quadrata? Attrattori? - Punti fissi attrattivi - Bacino di attrazione Teorema del punto fisso di Banach? Power iteration/power method - Condizioni di convergenza? - Dim. di convergenza all'autovalore maggiore? - Non è che a loro interessi tanto... Bracketing methods Teorema del punto intermedio Ricerca lineare Metodo di bisezione Regula falsi NOTA: non sono riducibili a fix-point iteration Non-bracketing methods Metodo delle secanti Metodo di Newton Radici di un polinomio? - Metodo di Horner + Newton - Companion matrix + power method? Errori? Calcolo della derivata Cancellazioni? Evitate nella regula falsi Remeber to explain: Multi variate functions applied to vectors subfunctions array concatenation memorizzazione delle matrici in memoria continue (magari nella lezione sull'ottimizzazione) trattamento degli argomenti non specificati return Gestione errori (error/warning) Debugging Prossime volte: determinant computation (recursive!) factorial computation (recursive!) matrix argument to vector operation - a good occasion to explain multiple functions in a single file sieve of erathostenes other algorithms to find prime numbers? permutations - Permute vectors - Permute rows/columns of a matrix Taylor series expansion? convolution? bubble sort / naive sort comparison functions set operations - intersection - union - substract? - powerset? continued fraction expansion Coordinate conversion (cartesian, polar) Some matrix factorizations/decompositions? - Choleski - LU decomposition - QR factorization - Singular Value Decomposition Gradient descent Newton method Fixed point iteration Bisection method - bracket a zero - convex optimization Minimization by repeated evaluation Golden section search Numeric gradient/Jacobian/Hessian Nelder-Mead? RNG algorithms (something simple) Using diagonal matrices for scaling Integration methods: - Numerical integration based on Gaussian quadrature. - Numerical integration using an adaptive vectorized Simpson’s rule. - Numerical integration using an adaptive Lobatto rule. - Numerical integration using an adaptive Gauss-Konrod rule. - Numerical integration using adaptive Clenshaw-Curtis rules. - Numerical integration of data using the trapezoidal method. Multi-dimensional integration? - Recursive appraoch - Orthogonal collocation ODE - algo? - reduction to first order Optimization? - LP, QP (null-space active-set method)... the algos are too complex - QP: basic method for convex problems? Zero-gradient - NLP via sequential quadratic programming - Least Square method? Descriptive statistics - Mean - Median - Variance - Stdev (second moment, statistic bias -- maybe this one later) - Mode? - Quartiles, quantiles - Explain histograms, too? - Histogram count computation - correlation/covariance? "True" statistics & probability theory - stat plots - unbiased estimators - some probability distributions - central limit theorem - Distributions - pdf, cdf, quantiles - One or two stat tests? - Confidence intervals? Generate permutations? Centering / Normalization Polynomials - Representation? - Horner's method? - Roots of a polynomial: Frobenius companion matrix, eigenavalues - poles? Interpolation - Nope - Use variable transformation for power law fitting Verifica stato di un elemento di un array Sort by argument Calcolo della radice quadrata Serie di Taylor (per calcolare una funzione) I/O semplice + disp + printf? Per stampare con precisione alta Goal: algoritmi + complessi ed esempi di propagazione degli errori valutazione di un polinomio (trivial) valutazione di un polinomio (Horner) Somme: - Somma "normale" - Somma gerarchica - Somma di Kahan Numeri interi - identificazione di numeri primi - fattorizzazione in numeri primi (trial division) Algoritmi di ordinamento: - Solo naive sort e bubble sort RNG - un algoritmo semplice - esempi di utilizzo di RNG in Octave Valutazione di una funzione a gradini - Lookup in una tabella chiave-valore - Valutazione in punti multipli Numeri interi ed algoritmi - Interi in Octaves - Promozione/demozione? - sieve of erathostenes (magari nella lezione 3) - fattorizzazione in numeri primi (trial division) - GCD GCD: q = gcd a = n_a q // q è il GCD di a e b b = n_b q // q è il GCD di a e b a = p b + r // divisione di a per b Quindi: n_a q = a = p b + r = p n_b q + r Quindi n_a = p n_b + r / q Deve venire un intero => r/q deve essere intero => r è divisibile per q Si dovrebbe poter fare lo stesso ragionamento anche per la sottrazione

Elementi di Informatica e Applicazioni Numeriche T

Esercizio 1

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Applicazioni Numeriche T