Esercizio 1

Sia data una cisterna che scarica acqua attraverso un tubo

Si determinini la portata in uscita (in L/s) nella situazione iniziale

Esercizio 1

Determinazione del valore del carico totale

Assumento una velocità nulla per il pelo libero...
...Per la sorgente della condotta abbiamo

$H_1 = \frac{p}{\rho g} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = z_1 = 3 m$

Per il terminale della condotta abbiamo:

$H_2 = \frac{p}{\rho g} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} = \frac{v_2^2}{2g}$

Dove $v_2$ equivale alla velocità nella condotta

Esercizio 1

Le uniche perdite di carico sono quelle distribuite:

$W_{12} = 4f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}$

Per il fattore di attrito possiamo usare con l'equazione di Churchill

Poiché la cisterna contiene acqua abbiamo:

$\nu = \frac{\mu}{\rho} = \frac{10^{-3}}{10^3} \frac{m^2}{s} = 10^{-6} \frac{m^2}{s}$

Esercizio 1

Per risolvere il problema possiamo:

Codificare la funzione:

$f(v) = H_1 - H_2 - W_{12}$

In altervativa, si può usare come variabiele $Q$ . Poi:

Utilizzare un metodo tipo-bisezione (i.e. fzero)
Utilizzare un metodo tipo-Newton Raphson (i.e. fsolve)

Una possibile soluzione è disponibile sul sito del corso

Per maggiori dettagli, si veda la registrazione della lezione

Variabili Globali in Octave

La soluzione dell'esercizio 1 utilizza delle variabili globali

Una variabile globale è una variabile che:

Può essere utilizzata da una funzione...
...senza che sia stata passata come parametro

Per esempio, la maggior parte dei dati del nostro problema:

devono essere noti alla funzione $f(x)$ ...
...ma non possono essere passati come parametri...
...perché fzero e fsolve lavorano con un solo parametro

Utilizzando delle variabili globali si aggira il problema

Variabili Globali in Octave

Per utilizzare una variabile globale:

Occorre definirla come tale nel file di script:

global L = 15;

Per accedervi da una funzione, va indicare l'intenzione di farlo:

function target_function(v)
    global L; % Da questo momento L è accessibile
    ...
end

Variabili Globali in Octave

Attenzione a non esagerare!

In particolare per due buone ragioni:

1) Passare i parametri in modo implicito riduce la leggibilità!

2) Se una variabile globale viene definita due volte:

global x = 1;
global x = 2;

La seconda definizione viene ignorata
Conseguenza: se eseguite uno script, moficare x e rieseguite...
...la modifica viene ignorata!
Soluzione: "pulite" l'abiente con clear all

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio 2

Sia data una cisterna che scarica acqua attraverso un tubo

Quale è la massima scabrezza perché la portata iniziale sia $\geq$ 2L/s?

Esercizio 2

Come nel caso predente, possiamo codificare:

$f(\varepsilon) = H_1 - H_2 - W_{12}$

E poi usare fzero o fsolve

Una possibile soluzione è disponibile sul sito del corso

Per maggiori dettagli, si veda la registrazione della lezione

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Esercizio 3

Siano date due cisterne d'acqua comunicanti in questa situazione:

Si calcoli la velocità (iniziale) nei due tratti della condotta

Esercizio 3

Il carico totale ai due estremi è dato da:

$\begin{align} & H_1 = \frac{\rho g h_1}{\rho g} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g}\\ & H_2 = \frac{\rho g h_2}{\rho g} + z_2 + \frac{v_1^2}{2g}\\ \end{align}$

Quindi:

$H_1 - H_2 = h_1 - h_2$

Esercizio 3

Le perdite di carico vanno calcolate per le due tratte:

$W_{12} = W_A + W_B$

Le perdite di carico sono date da:

$\begin{align} & W_{A} = 4f \frac{L_A}{D_A} \frac{v_A^2}{2g} + k \frac{v_A^2}{2g} & \hspace{1cm} & W_{B} = 4f \frac{L_B}{D_B} \frac{v_B^2}{2g} \end{align}$

Per ridurre il problema ad una sola variabile, sfruttiamo:

$\begin{align} & v_A = \frac{Q}{\pi} \frac{4}{D_A^2} & \hspace{1cm} & v_B = \frac{Q}{\pi} \frac{4}{D_B^2} \end{align}$

Esercizio 4

Di nuovo, si può risolvere l'esercizio con fzero o fsolve

La funzione di cui dobbiamo trovare lo zero è:

$f(Q) = H_1 - H_2 - W_{12}$

Una volta determinata la portata...
...possiamo risalire alle due velocità

Una possibile soluzione è disponibile sul sito del corso

Per maggiori dettagli, si veda la registrazione della lezione

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Applicazioni Numeriche T

Esercizio 4

Si consideri la situazione dell'esercizio precedente:

Si calcolino le velocità quando a sx ci sono $2/1.5/1/0.5 m$ di acqua

Esercizio 4

Va solo risolto l'esercizio precedente con quattro diversi valori per $h_1$

Invece di definire quattro funzioni completamente diverse...
...è utile introdurre una singola funzione con due parametri:

function z = fbase(Q, h1)

Ed utilizzarla per definire quattro "funzioni bersaglio". E.g.:

function z = target_function1(Q)
    global h1;
    z = fbase(Q, h1(1));
end

Un esempio di soluzione è disponibile sul sito del corso

Esercizio 4

Ancora meglio, è possibile utilizzare delle funzioni anonime:

Una funzione anonima consiste in:

Una funzione senza nome...
...che può essere assegnata ad una variabile

Una funzione anonima è definita da una singola espressione:

<variabile> = @(<variabile>) (<espressione>)
@(<variabile>) (<espressione>) % Senza assegnamento

La funzione può accedere alle variabili...
...definite nell'ambiente in cui viene costruita (e.g. lo script)

Esercizio 4

Usiamo come esempio questo esercizio:

function z = fbase(Q, h1)
    ...
end

f1 = @(Q) ( fbase(Q, 2) ) % altezza = 2
x0 = <stima inziale>
[X, FVAL, INFO] = fsolve(f1, x0)

La funzione anonima chiama fbase con h1 = 2
La funzione viene memorizzata in una variabile...
...E può esere utilizzata in fsolve

Prossima lezione Esempi di calcolo integrale con flussimetri? Integrazione: Formule di Newton-Cotes - Regola del punto medio - Regola dei trapezoidi - Regola di Simpson - Regole composite Due casi: - Funzione nota per formula, pesi precomputati - Funzione nota per punti, pesi da calcolare Animazioni? Soluzione di equazioni differenziali: Formulazione: ODE del primo ordine (problema del valore iniziale) Ordine multiplo: riducibile al primo ordine Metodo di Eulero - In avanti (esplicito) - All'indietro (implicito) Metodi di Runge-Kutta? Scelta del valore di x iniziale in NR Funzioni anonime Plotting? Linspace figure salvare figure Piano (Vecchia lezione): Tipi di convergenza: [SPOSTARE DOPO IL CASO NON-LINEARE] - Lineare, sublineare, superlineare Differenze con il caso lineare: - Bacini di attrazione (sono un casino: possono essere discontinui...) Un caso particolare: radici di polinomi - Per adesso focalizziamoci sul trovare una sola radice - Primo approccio: riduzione al caso non lineare + Problema: condizioni di convergenza - Secondo approccio: + Usiamo la matrice compagna + Se troviamo gli autovalori, troviamo le radici + Come è definito un autovalore? + Facile, ma c'è lambda tra le scatole + Eliminiamolo + Rinunciamo a trovare l'autovettore: ci accontentiamo di un suo multiplo (che ha lo stesso comportamento) + Alé! Possiamo applicare l'iterazione di punto fisso + Alla fine troviamo un vettore unitario con la stessa direzione di un autovettore + Come trovare l'autovalore? Rapporto tra i coefficienti di due vettori successivi (qualunque coefficiente, basta che sia non nullo) + Osservazione: riduzione ad un caso non lineare + Converge? Condizioni + Produce sempre l'autovalore con valore assoluto più grande - Trovare tutte le radici: regola di Ruffini (divisione sintetica) Fix-point iteration Fix-point iteration - Calcolo della radice quadrata? Attrattori? - Punti fissi attrattivi - Bacino di attrazione Teorema del punto fisso di Banach? Power iteration/power method - Condizioni di convergenza? - Dim. di convergenza all'autovalore maggiore? - Non è che a loro interessi tanto... Bracketing methods Teorema del punto intermedio Ricerca lineare Metodo di bisezione Regula falsi NOTA: non sono riducibili a fix-point iteration Non-bracketing methods Metodo delle secanti Metodo di Newton Radici di un polinomio? - Metodo di Horner + Newton - Companion matrix + power method? Errori? Calcolo della derivata Cancellazioni? Evitate nella regula falsi Remeber to explain: Multi variate functions applied to vectors subfunctions array concatenation memorizzazione delle matrici in memoria continue (magari nella lezione sull'ottimizzazione) trattamento degli argomenti non specificati return Gestione errori (error/warning) Debugging Prossime volte: determinant computation (recursive!) factorial computation (recursive!) matrix argument to vector operation - a good occasion to explain multiple functions in a single file sieve of erathostenes other algorithms to find prime numbers? permutations - Permute vectors - Permute rows/columns of a matrix Taylor series expansion? convolution? bubble sort / naive sort comparison functions set operations - intersection - union - substract? - powerset? continued fraction expansion Coordinate conversion (cartesian, polar) Some matrix factorizations/decompositions? - Choleski - LU decomposition - QR factorization - Singular Value Decomposition Gradient descent Newton method Fixed point iteration Bisection method - bracket a zero - convex optimization Minimization by repeated evaluation Golden section search Numeric gradient/Jacobian/Hessian Nelder-Mead? RNG algorithms (something simple) Using diagonal matrices for scaling Integration methods: - Numerical integration based on Gaussian quadrature. - Numerical integration using an adaptive vectorized Simpson’s rule. - Numerical integration using an adaptive Lobatto rule. - Numerical integration using an adaptive Gauss-Konrod rule. - Numerical integration using adaptive Clenshaw-Curtis rules. - Numerical integration of data using the trapezoidal method. Multi-dimensional integration? - Recursive appraoch - Orthogonal collocation ODE - algo? - reduction to first order Optimization? - LP, QP (null-space active-set method)... the algos are too complex - QP: basic method for convex problems? Zero-gradient - NLP via sequential quadratic programming - Least Square method? Descriptive statistics - Mean - Median - Variance - Stdev (second moment, statistic bias -- maybe this one later) - Mode? - Quartiles, quantiles - Explain histograms, too? - Histogram count computation - correlation/covariance? "True" statistics & probability theory - stat plots - unbiased estimators - some probability distributions - central limit theorem - Distributions - pdf, cdf, quantiles - One or two stat tests? - Confidence intervals? Generate permutations? Centering / Normalization Polynomials - Representation? - Horner's method? - Roots of a polynomial: Frobenius companion matrix, eigenavalues - poles? Interpolation - Nope - Use variable transformation for power law fitting Verifica stato di un elemento di un array Sort by argument Calcolo della radice quadrata Serie di Taylor (per calcolare una funzione) I/O semplice + disp + printf? Per stampare con precisione alta Goal: algoritmi + complessi ed esempi di propagazione degli errori valutazione di un polinomio (trivial) valutazione di un polinomio (Horner) Somme: - Somma "normale" - Somma gerarchica - Somma di Kahan Numeri interi - identificazione di numeri primi - fattorizzazione in numeri primi (trial division) Algoritmi di ordinamento: - Solo naive sort e bubble sort RNG - un algoritmo semplice - esempi di utilizzo di RNG in Octave Valutazione di una funzione a gradini - Lookup in una tabella chiave-valore - Valutazione in punti multipli Numeri interi ed algoritmi - Interi in Octaves - Promozione/demozione? - sieve of erathostenes (magari nella lezione 3) - fattorizzazione in numeri primi (trial division) - GCD GCD: q = gcd a = n_a q // q è il GCD di a e b b = n_b q // q è il GCD di a e b a = p b + r // divisione di a per b Quindi: n_a q = a = p b + r = p n_b q + r Quindi n_a = p n_b + r / q Deve venire un intero => r/q deve essere intero => r è divisibile per q Si dovrebbe poter fare lo stesso ragionamento anche per la sottrazione

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Esercizio 1

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