Obiettivi del Corso

Partiamo dal titolo:

Il corso ha tre "anime"

• Informatica
• Calcolo numerico
• Integrazione con Fluidodinamica
• Quattro, con Matlab (dimenticavo)

Una situazione complicata (almeno dal mio punto di vista)

Obiettivi e Programma del Corso

Facciamo un po' d'ordine:

• Informatica = il tema principale del corso
• Calcolo numerico = il nostro campo di applicazione dell'Informatica
• Fluidodinamica = il nostro campo di applicazione di calcolo numerico
• Matlab Octave = il nostro strumento

Obiettivi e Programma del Corso

Facciamo un po' d'ordine:

• Informatica = il tema principale del corso
  • Algoritmi e strutture dati
  • Linguaggi imperativi
  • Programmazione strutturata
• Calcolo numerico = il nostro campo di applicazione dell'Informatica
• Fluidodinamica = il nostro campo di applicazione di calcolo numerico
• Matlab Octave = il nostro strumento

Obiettivi e Programma del Corso

Facciamo un po' d'ordine:

• Informatica = il tema principale del corso
• Calcolo numerico = il nostro campo di applicazione dell'Informatica
  • Equazioni non-lineari
  • Integrazione
  • Equazioni differenziali
  • Probabilità e statistica (cenni)
  • Interpolazione
  • Minimizzazione non vincolata
• Fluidodinamica = il nostro campo di applicazione di calcolo numerico
• Matlab Octave = il nostro strumento

Obiettivi e Programma del Corso

Facciamo un po' d'ordine:

• Informatica = il tema principale del corso
• Calcolo numerico = il nostro campo di applicazione dell'Informatica
• Fluidodinamica = il nostro campo di applicazione di calcolo numerico
  • Qualche connessione verrà indicata mano a mano
  • Equazioni non lineari
  • Integrazione
  • Interpolazione
• Matlab Octave = il nostro strumento

Obiettivi e Programma del Corso

Facciamo un po' d'ordine:

• Informatica = il tema principale del corso
• Calcolo numerico = il nostro campo di applicazione dell'Informatica
• Fluidodinamica = il nostro campo di applicazione di calcolo numerico
• Matlab Octave = il nostro strumento
  • Funzioni predefinite
  • Input/output e plot (rudimenti)
  • Scrivere codice ottimizzato

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Informatica, Algoritmi, Linguaggi

Cos'è l'informatica?

Partiamo con una domanda:

In Inglese "Computer Science" => "scienza dei calcolatori"

• Acqua...
• Non è una definizione particolarmente buona

Vediamo un po' di informatica senza calcolatore

Un Primo Esempio

Un Primo Esempio

• Sia $w$ la parola da cercare
• Aprire il dizionario a caso
• Siano $w', w'',$ le parola in cima alla pagina sx/dx
• Se $w < w'$, passiamo alle pagine precedenti e ripetiamo
• Se $w > w''$, passiamo alle pagine successive e ripetiamo
• Altrimenti cerchiamo $w$ sulla pagina

Per essere pignoli dovremmo specificare anche:

• Come cercare $w$ sulla pagina
• E come confrontare due parole!

Un Primo Esempio

Un Secondo Esempio

• Prendiamo in mano un numero a caso (sia questo $m$)
• $m$ è temporaneamente il nostro massimo
• Prendiamo in mano tutti gli altri numeri uno per volta
• Sia $v$ il numero corrente
• Se $v > m$, allora $v$ è il nuovo massimo. Mettiamo da parte $m$
• Altrimenti, mettiamo da parte $v$ e passiamo al prossimo numero

Cos'è l'Informatica?

Proviamo con una nuova definizione:

• Fuochino...
• È molto vaga, ma evidenzia un concetto fondamentale:

Algoritmi

Possiamo vedere un algoritmo come una "scatola nera" (black box)

• Un algoritmo si applica a dei dati di ingresso (input)
• Un algoritmo produce dei dati di uscita (output o risultati)

I dati di ingresso/uscita devono provenire da insiemi be specificati:

• L'insieme $D_I$ dei possibili ingressi si chiama dominio di ingresso
• L'insieme $D_O$ dei possibili risultati si chiama dominio di uscita

Algoritmi, Funzioni, Problemi

Quindi stiamo dicendo che:

• Un algoritmo mappa un elemento del dominio di ingresso...
• ...su un elemento del dominio di uscita

Ma questo non è il concetto matematico di funzione?

$$f: D_I \mapsto D_O$$

Quasi:

• Una funzione specifica quali dati di input mappare in quali output
• Quindi $f$ è una descrizione del problema da risolvere

Algoritmi, Funzioni, Problemi

Quindi stiamo dicendo che:

• Un algoritmo mappa un elemento del dominio di ingresso...
• ...su un elemento del dominio di uscita

Ma questo non è il concetto matematico di funzione?

$$f: D_I \mapsto D_O$$

Quasi:

• Un algoritmo descrive come i dati possono essere mappati
• È ciò che permette di "dare vita" ad $f$, cioè di eseguirla

Algoritmi ed Elaboratori

Per eseguire un algoritmo è necessario un elaboratore

Questo è un elaboratore:

Algoritmi ed Elaboratori

Per eseguire un algoritmo è necessario un elaboratore

Questo è un elaboratore:

Algoritmi ed Elaboratori

Per eseguire un algoritmo è necessario un elaboratore

Questo è un elaboratore del 1976 (Wozniak, Apple I):

Algoritmi ed Elaboratori

Per eseguire un algoritmo è necessario un elaboratore

Questo è un elaboratore (parte) del 1837 (Babbage, Analytical Engine):

Algoritmi ed Elaboratori

Per eseguire un algoritmo è necessario un elaboratore

Questo può essere un elaboratore:

Algoritmi ed Elaboratori

Per eseguire un algoritmo è necessario un elaboratore

Dal nostro punto di vista:

• L'elaboratore determina i dati elementari che possiamo usare
• L'elaboratore determina le nostre operazioni elementari
  • Es. l'operatore $<$ nei nostri due algoritmi

"Potenza" di Un Elaboratore

Non tutti gli elaboratori hanno la stessa potenza. Per esempio:

• Questa classifica potrebbe risultare un po' strana :-)
• Tutto dipende dal nostro concetto di potenza

Potenza Espressiva di Un Elaboratore

In base alla definizione, la potenza di un elaboratore dipende da:

• Quanti e quali dati può rappresentare
• Quante e quali operazioni elementari mette a disposizione

Per essere precisi si dovrebbe parlare di potenza espressiva

Si dà il caso che (senza entrare nei dettagli):

• Per poter eseguire qualunque algoritmo eseguibile
• Sono sufficienti pochissimi tipi di dato ed operazioni elementari

È un risultato che dobbiamo ad un paio di "colossi" dell'informatica

• Alan Turing, Alonzo Church (negli anni '30)

Una Parentesi su Alan Turing & Friends

Se avete tempo, leggete questo blog post: ne vale la pena!

Algoritmi Equivalenti

Due algoritmi si dicono equivalenti se:

• Hanno lo stesso dominio di ingresso $D_I$
• Hanno lo stesso dominio di uscita $D_O$
• Mappano gli stessi dati di ingresso negli stessi dati di uscita

In sintesi, se risolvono lo stesso problema

Due algoritmi equivalenti non sono necessariamente uguali:

• Possono essere più o meno efficienti
• Possono essere più o meno stabili
• Possono essere più o meno accurati

Torniamo all'Esempio #1

Consideriamo un altro algoritmo per l'esempio #1

• Sia $w$ la parola da cercare
• Sia $p$ la prima pagina e $q$ l'ultima
• Aprire il dizionario alla pagina: $$\frac{p+q}{2}$$
• Siano $w', w'',$ le parola in cima alla pagina sx/dx
• Se $w < w'$, allora $w'$ diventa il nostro nuovo $q$
• Se $w > w''$, allora $w''$ diventa il nostro nuovo $p$
• Altrimenti cerchiamo $w$ sulla pagina

In pratica, apriamo sempre il dizionario a metà tra $p$ e $q$

Torniamo all'Esempio #1

Se ci sono $n$ pagine, quante ne dobbiamo aprire con i due approcci?

Algoritmo 1:

• Se siamo fortunati: una sola!
• Se siamo veramente sfortunati: $n$ pagine

Algoritmo 2:

All'inizio abbiamo $n$ pagine possibili

Torniamo all'Esempio #1

Se ci sono $n$ pagine, quante ne dobbiamo aprire con i due approcci?

Algoritmo 1:

• Se siamo fortunati: una sola!
• Se siamo veramente sfortunati: $n$ pagine

Algoritmo 2:

Dopo il primo passo (supponiamo $w < w'$), le pagine sono $n/2$

Torniamo all'Esempio #1

Se ci sono $n$ pagine, quante ne dobbiamo aprire con i due approcci?

Algoritmo 1:

• Se siamo fortunati: una sola!
• Se siamo veramente sfortunati: $n$ pagine

Algoritmo 2:

Dopo il secondo passo (supponiamo $w > w''$), le pagine sono $n/4$

Le pagine possibili si dimezzano ad ogni passo!

Torniamo all'Esempio #1

Se ci sono $n$ pagine, quante ne dobbiamo aprire con i due approcci?

Algoritmo 1:

• Se siamo fortunati: una sola!
• Se siamo veramente sfortunati: $n$ pagine

Algoritmo 2:

• Se siamo fortunati (caso migliore): una
• Se siamo veramente sfortunati (caso peggiore): $\log_2 n$

I due algoritmi si chiamano ricerca lineare e ricerca binaria

• Il secondo è molto più efficiente

E di Nuovo all'Esempio #2

Un nuovo algoritmo per l'esempio 2:

• Supponiamo di risolvere il problema in modo collettivo
• Sia $m$ il numero di persone che risolve il problema
• Sia $n$ il numero di tessere da controllare
• Possiamo dividere le $n$ tessere in $m$ gruppi
• E ciascuno dovrà esaminare solo $n/m$ tessere!

Il nuovo algoritmo è di nuovo più efficiente

A differenza del caso precedente, il vantagggio dipende dall'elaboratore

• In particolare dal numero di persone $m$
• Il nuovo algoritmo è parallelo

Efficienza di un Algoritmo

Come si valuta l'efficienza di una algoritmo?

Di solito ci si basa sulla sua complessità asintotica

• Sia $n$ la dimensione del problema
• Sia $g(n)$ il #operazioni necessarie a risolverlo con il nostro algoritmo
• Si assume che $n$ cresca indefinitamente, i.e. $n \rightarrow \infty$
• Si cerca una funzione $h(n)$ che limita superiormente $f(n)$

A questo punto diciamo che la complessità è: $O(h(n))$

• È più facile di quello che sembra
• Vediamo il calcolo in atto...

Efficienza di un Algoritmo - Esempio

Consideriamo l'esempio 1, risolto con ricerca lineare

• Nel caso peggiore, dobbiamo sfogliare $n$ pagine
• Poi dobbiamo cercare la parola sulla pagina
• Supponiamo che il numero di parole sulla pagina sia $m$
• E di usare (di nuovo) ricerca lineare per cercare sulla pagina

Il numero totale di operazioni sarà:

$$g(n,m) = n + m$$

• $m$ sarà tendenzialente costante
• Quindi per $n \rightarrow \infty$, $g(n,m)$ sarà limitata da $h(n) = n$

La complessità asintotica è quindi $O(n)$

Proprietà Fondamentali degli Algoritmi

Consideriamo ora un algoritmo per la funzione (i.e. il problema):

$$f: D_I \mapsto D_O$$

Perché l'algoritmo sia tale, devono valere alcune proprietà:

• Applicabilità a tutti di dati di ingresso
• Eseguibilità
• Finitezza
• Non-ambiguità

Le definizioni delle proprietà sono nelle slide seguenti...

Proprietà Fondamentali degli Algoritmi

1) Applicabilità a tutti i dati di ingresso:

L'algoritmo deve essere applicabile qualunque sia il valore dei dati di ingresso (purché ovviamente appartengano al dominio $D_I$)

• Se (1) non vale, l'algoritmo non calcola veramente $f$
• Questo non vuol dire che l'algoritmo sia inutile
  • E.g. potrebbe risolvere una versione ristretta del problema

2) Eseguibilità:

Ogni azione deve essere eseguibile dall'elaboratore in un tempo finito

• Se (2) non vale, $f$ non può essere calcolata in un tempo finito
• Di fatto è una proprietà dell'elaboratore stesso

Proprietà Fondamentali degli Algoritmi

3) Finitezza:

Per ogni possibile valore dei dati di ingresso, l'algoritmo deve terminare dopo un numero finito di passi

• Di nuovo, se (3) non vale, $f$ non può essere calcolate in tempo finito

4) Non Ambiguità:

Ogni azione deve essere interpretabile in modo non ambiguo dall'elaboratore.

• Se (4) non vale, $f$ non può essere calcolata

Le proprietà (3) e (4) sono collegate a due argomenti molto importanti...

Finitezza e Computabilità

Iniziamo con una definizione importante:

Può esistere una funzione ben definita e non computabile?

• Sì! Il risultato è del matematico Kurt Gödel
• Vediamo degli esempi...

Finitezza e Computabilità

Un primo esempio:

$$f(a, b) = \{v \in \mathbb{Q} \ |\ a < v < b \}$$

$f$ associa a due numeri $a$ e $b$ l'insieme dei razionali compresi tra di essi

• Ci sono infiniti numeri razionali tra $a$ e $b$!
• Ci vuole un tempo infinito per costruire questo insieme

In questo caso, non è possibile soddisfare la finitezza

Finitezza e Computabilità

Un secondo esempio:

$$f(\text{affermazione}) = \left\{\begin{aligned} &1 && \text{se l'affermazione è vera}\\ &0 && \text{altrimenti} \end{aligned}\right.$$

$f$ è un dimostratore: stabilisce se una certa affermazione è vera o falsa

• Cosa succede se usiamo come input "Questa affermazione è falsa?"
• Per verificare l'affermazione dobbiamo stabilire se essa sia vera
• Il che richiede di verificare se l'affermazione sia vera
• E così via, all'infinito!

Quindi non è possibile calcolare $f$ in un numero finito di passi

Non-ambiguità e Formalizzazione

Consideriamo ora la non-ambiguità:

• Più che essere una proprietà dell'algoritmo...
• ...È una proprità del modo in cui lo descriviamo

Per descrivere in modo non ambiguo un algoritmo:

• Ci serve un linguaggio (per esempio testuale)
• Il linguaggio deve avere una sintassi non-ambigua
  • Cioè: delle regole sintattiche formalmente definite
• Il linguaggio deve avere una semantica non-ambigua
  • Cioè: ogni componente del testo ha un solo significato

Un linguaggio di questo tipo si chiama linguaggio formale

Linguaggi di Programmazione

Si chiama linguaggio di programmazione un linguaggio formale:

• La cui semantica è definita in base ad operazioni elementari...
• ...Che possono essere eseguite su un elaboratore

Un testo scritto in un linguaggio di programmazione:

• Può essere eseguito!
• Si chiama programma

Un algoritmo può essere definito usando un programma

• Spesso si usa il termine "codificare" o "implementare"

Linguaggi di Programmazione - Un Esempio

Questo è un programma per l'esempio 2 (max di una serie di numeri)

V = [1, 7, 16, 33, 41, ...]
m = V[0]
for v in V[1:]:
    if m < v:
        m = v

• Il programma è scritto in Python
• Python è un linguaggio di programmazione piuttosto "di moda" :-)
• Non sarà argomento del corso

Programmi ed Algoritmi

Non tutti i programmi sono algoritmi

• Ci sono programmi che eseguono indefinitamente
  • E.g. server web
• Programmi che non "calcolano un risultato"
  • E.g. interfacce utente

Anche se in verità ambedue queste due osservazioni sono opinabili...

Ma in sostanza cosa fa un programma?

• Rappresenta informazioni
• Elabora informazioni

Cos'è l'Informatica?

Il che ci porta alla definizione di Informatica che adotteremo!

Elementi di Informatica e
Applicazioni Numeriche T

Introduzione ad Octave

Cos'è Octave

Octave è un sistema software per calcolo numerico

Sistema = collezione di componenti SW (pensiamoli come "programmi")

• Ideato nel 1988 per un corso di progettazione di reattori chimici
• Si interagisce con il SW mediante un linguaggio di programmazione

Di seguito con "Octave" ci riferimento sia al SW che al linguaggio

Perché Octave e non Matlab?

• Octave è pesantemente ispirato a Matlab
• I linguaggi utilizzati sono quasi 100% compatibili
• Octave però è completamente gratuito

Interfaccia Utente di Octave

Octave ha due tipi di interfaccia

Interfaccia a riga di comando ("no GUI" - Graphical User Interface)

Interfaccia Utente di Octave

Octave ha due tipi di interfaccia

Interfaccia a finestre ("GUI", dalla versione 4.0)

Octave in Laboratorio & a Casa

Octave è pre-installato in laboratorio

Potete già avviare la versione con l'interfaccia grafica!

Utilizzare Octave a casa

Installare Octave a casa è:

• Facile se usate Linux
• Facile se usate Windows
• Non proprio banale se usate OSX (come me)

Potete trovare delle istruzioni dettagliate sul sito del corso

Installare Octave è importantissimo per potervi esercitare!

Componenti della GUI di Octave

L'elemento più importante della GUI è la finestra dei comandi

Il simbolo ">>" si chiama prompt ed indica dove potete scrivere

Componenti della GUI di Octave

Nella colonna di SX trovate un file browser

Ogni programma quando esegue è associato ad una cartella

• Il file browser ci permette di conoscere quale sia...
• ...E di esplorarla

Torneremo su questo punto in futuro

Componenti della GUI di Octave

Sempre nella colonna di SX trovate una finestra di workspace e la storia dei comandi

• La finestra di workspace mostra le variabili attualmente definite
• La storia dei comandi mostra le istruzioni eseguite

Quando comincerete ad eseguire, fate attenzione al loro contenuto

Il "Linguaggio Octave"

Il linguaggio Octave si basa su pochi concetto fondamentali

• Tipi di dato elementari
• Tipi di dato composti
• Variabili
• Espressioni e funzioni
• Istruzioni di controllo del flusso

E diversi concetti più complessi, ma meno essenziali:

• Range, Function handler, ...

Oggi cominciamo a vederli insieme

Tipi di Dato Elementari: Numeri Reali

Il tipo di dato più importante in Octave sono i numeri reali

Sintassi:

• Notazione "Normale":

3.14159
1000

• Notazione scientifica:

314159e-5
1e3

Semantica: beh, un numero reale!

Tipi di dato composto: Vettori

Octave permette di comporre dati elementari in vettori (o array)

Sintassi:

[<dato a>, <dato b>, ...] % Notazione 1
[<dato a> <dato b> ...] % Notazione 2

Qualche esempio:

[1, 5, 3, 9]
[1 5 3 9]

La notazione #2 è sconsigliata (in alcuni casi causa confusione)

Semantica: un vettore, proprio come vi aspettereste

Vettori e Range

Se gli elementi sono consecutivi possiamo usare un range

Sintassi:

<primo>:<ultimo> % Notazione 1
<primo>:<incremento>:<ultimo> % Notazione 2

Qualche esempio:

• 1:6 equivale a: [1, 2, 3, 4, 5, 6]
• 1:2:6 equivale a: [1, 3, 5]
• 1:2.5:6 equivale a: [1, 3.5, 6]

Tipi di dato composto: matrici

Octave permette di comporre dati elementari in matrici

Sintassi (una sequenza di vettori, separati da ";"):

[<dato a>, <dato b>, ...; <dato c>, <dato d>, ...; ...]

Un esempio:

[1, 5; 3, 9]

Semantica (i vettori rappresentano le righe):

$$\left(\begin{array}{cc} a & b & \ldots\\ c & d & \ldots\\ \ldots & \ldots & \ldots \end{array}\right)$$

Tipi di dato composto: stringhe

Octave permette di rappresentare stringhe di testo

Sintassi:

'ciao mondo!' % Notazione 1 (compatibile con Matlab)
"ciao mondo!" % Notazione 2 (preferita in Octave)

Semantica (qui le cose si fanno un filo complicate):

• Una stringa corrisponde in realtà ad un vettore di caratteri
• Una carattere è un simbolo di testo

Un carattere corrisponde però internamente ad un numero

Tipi di dato composto: stringhe

Si usa la seguente tabella di conversione carattere <-> numero:

Si chiama tabella ASCII (dal nome dello standard)

Tipi di dato composto: stringhe

Octave permette di rappresentare stringhe di testo

Sintassi:

'ciao mondo!' % Notazione 1 (compatibile con Matlab)
"ciao mondo!" % Notazione 2 (preferita in Octave)

Semantica (qui le cose si fanno un filo complicate):

• Una stringa corrisponde in realtà ad un vettore di caratteri

Quindi 'ciao mondo!' corrisponde a:

[99, 105, 97, 111, 32, 109, 111, 110, 100, 111, 33]

Variabili ed Assegnamento

Per memorizzare dati, Octave utilizza il concetto di variabile:

Potete pensarla come un contenitore con un nome

• Una variabile viene definita assegnandovi un valore
• Per farlo si utilizza l'operatore di assegnamento

Sintassi:

<variabile> = <dato>

Variabili ed Assegnamento

Vediamo un esempio:

a = 5

• Quando premete [invio], viene definita la variabile a con valore 5

Il contenuto di una variabile può essere cambiato:

a = 5
a = 3

• Viene definita la variabile a con valore 5
• Al passo successivo ad a viene assegnato il valore 3

Una variabile è un contenitore, ricordate?

Variabili ed Assegnamento

Una variabile può contenere qualunque tipo di dato:

x = 1
x = [1, 2, 3]

• x viene definita con il valore 1
• Dopo il secondo passo, x contiene il vettore [1, 2, 3]

Il nome di una variabile:

• Deve iniziare con una lettera o con "_"
• I caratteri successivi possono essere lettere, "_", o numeri

r2d2 = 'un droide'
c_3po = 'un altro droide'

Variabili Speciali

Alcune variabili sono automaticamente disponibili:

• Pi-greco "pi"
• Numero di Eulero "e"
• Unità immaginaria "i"

L'unità immaginaria può essere utilizzata per definire numeri complessi:

2 + 3i

• Non li useremo gran che in questo corso...

Variabili Speciali

• Quando scriviamo un dato sul prompt e premiamo [invio]:
• Il dato viene inserito in una variabile speciale che si chiama ans

Questo è il motivo per cui scrivendo per esempio:

10

Octave risponde con:

ans = 10

Espressioni (o "cosa fare con i dati")

• Quando scrivete una espressione e premete [invio]...
• ...Octave la valuta e denota (o restituisce) un valore

Un modo per pensarla: il valore restituito "rimpiazza" l'espressione

Espressioni Semplici

Una espressione può essere semplice o composta

La notazione per un dato è un esempio di espressione semplice:

• Quando scrivete:

10

• quello che avete fatto è scrivere del testo
• Nel momento in cui premete [invio]
• Octave valuta l'espressione ed ottiene il valore 10

Il risultato dell'espressione viene memorizzato nella variabile ans

Espressioni Semplici

Il nome di una variabile è una espressione semplice

x = 10
x

• Quando premete [invio] dopo il secondo passo...
• ...Octave controlla se la variabile x sia definita...
• ...Se lo è, restituisce il valore corrente

Se la variabile non è definita viene riportato un errore

Eccezione: Il nome di una variabile non è una espressione se compare a sinistra dell'operatore di assegnamento =

x = 10 % x in questo caso non è una espressione

Espressioni Composte: Vettori (e Matrici)

La definizione di un vettore è una espressione composta

Quando scrivete...

[1, 3, 4]

...e battete "invio", Octave lo interpreta come:

[<exp1>, <exp2>, <exp3>]

• Le espressioni "<exp1>", "<exp2>", "<exp3>" vengono valutate...
• ...E restituiscono i valori 1, 3 e 4
• A questo punto viene valutata [<dato>, <dato>, ...]

Ed otteniamo il nostro vettore!

Espressioni Composte: Funzioni

Octave fornisce un costrutto fondamentale per comporre espressioni:

Qualche esempio:

plus(2, 5) % Esegue una somma
minus(10, 3) % Esegue una sottrazione
times(2, 3) % Esegue una moltiplicazione

Chiamando una funzione si esegue il sotto-programma corrispondente

Sintassi di una Chiamata a Funzione

La sintassi per una chiamata a funzione è:

<nome della funzione>(<dato>, <dato>, ...)

I dati tra parentesi rappresentano l'input del sotto-programma

• Si chiamano parametri

Tipicamente un funzione incapsula un algoritmo

• Conseguenza: la funzione restituisce un risultato

Si chiama "funzione" per analogia con le funzioni matematiche:

• Accetta dati di ingresso e restituisce un risultato
• Ha addirittura la stessa notazione di una funzione matematica

Semantica di una Chiamata a Funzione

Una chiamata a funzione viene valutata come segue:

• Innanzitutto vengono valutati i parametri
• Otteniamo così i dati di ingresso del sotto-programma
• Quindi viene eseguito il sotto-programma corrispondente
• Quando il sotto-programma termina, viene restituito il risultato

Non si tratta di un meccanismo molto complesso:

• È quello che fareste voi se doveste fare i conti a mano

Vediamo un esempio...

Semantica di una Chiamata a Funzione

La nostra espressione di partenza:

plus(5, times(2, minus(7, 5)))

Per valutare plus dobbiamo valutare i parametri:

• Il primo parametro è 5 (immediato da valutare)
• Il secondo parametro è una invocazione di times
• Per valutare times dobbiamo valutare i parametri:
  • Il primo parametro è 2
  • Il secondo parametro è una invocazione di minus
  • Per valutare minus dobbiamo valutare i parametri:
    • Il primo parametro è 7
    • Il secondo parametro è 5

Semantica di una Chiamata a Funzione

La nostra espressione di partenza:

plus(5, times(2, minus(7, 5)))

Per valutare plus dobbiamo valutare i parametri:

• Il primo parametro è 5 (immediato da valutare)
• Il secondo parametro è una invocazione di times
• Per valutare times dobbiamo valutare i parametri:
  • Il primo parametro è 2
  • Il secondo parametro è quindi 2

plus(5, times(2, 2))

Semantica di una Chiamata a Funzione

La nostra espressione di partenza:

plus(5, times(2, minus(7, 5)))

Per valutare plus dobbiamo valutare i parametri:

• Il primo parametro è 5 (immediato da valutare)
• Il secondo parametro è quindi 4

plus(5, 4)

Semantica di una Chiamata a Funzione

La nostra espressione di partenza:

plus(5, times(2, minus(7, 5)))

L'intera espressione denota il valore 9

9

Ottenere Aiuto

Octave mette a disposizione una enormità di funzioni

Ognuna ha la sua definizione!

• Il suo nome
• I suoi parametri
• La sua specifica (sotto-programma)
• Il numero di parametri può essere variabile

Come fare ad orientarsi?

• Prima soluzione: imparare a memoria
• Seconda soluzione: Google o il manuale di octave
• Terza soluzione: usare una funzione!

Ottenere Aiuto

Per conoscere la specifica di una funzione con nome noto

Potere usare la funzione help o la funzione doc

help(<nome funzione>) % <nome funzione> è una stringa
doc(<nome funzione>)

• help visualizza un messaggio sulla finestra dei comandi
• doc apre una finestra del document browser
  • Il document browser è un altro elemento della GUI

Provate con:

help('plus')
doc('plus')

Ottenere Aiuto

Se conoscete solo parte del nome di una funzione

Potete iniziare a scrivere a poi premere [tab]:

• Octave mostrerà i possibili completamenti
• I completamenti sono nomi di funzioni o di variabili

Provate con:

pl<e poi premete [tab]>

È una funzionalità molto utile

Funzioni con Sintassi Speciale: Comandi

Alcune funzioni hanno una sintassi speciale. Per esempio:

• Se tutti i parametri di una funzione sono stringhe...
• ...In Octave la funzione viene chiamata un comando

I comandi si possono invocare:

• Senza riportare le parentesi
• Senza riportare i simboli ' o " intorno alle stringhe

Per esempio, le seguenti invocazioni sono equivalenti:

help('plus')
help plus

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Tutti gli operatori aritmetici hanno una sintassi speciale in Octave

Operatore di somma: "+":

Sintassi:

<dato> + <dato>

• Calcola la somma di scalari o vettori/matrici
• I vettori/matrici vengono sommati elemento per elemento
  • Quindi, i due operandi devono avere le stesse dimensioni

2 + 3 % denota 5
[1, 2] + [3, 4] % denota [4, 6]

Esiste anche un operatore di somma + unario, che non fa nulla

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Operatore di sottrazione: "-":

Sintassi:

<dato> - <dato>

• Calcola la differenza di scalari o vettori/matrici
• I vettori/matrici vengono sottratti elemento per elemento

a = 5
a - 3 % denota 2
[3, 3] - [a, a] % denota [-2, -2]

Esiste anche l'operatore - unario

- <dato> % cambia il segno di <dato>

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Operatore di prodotto: "*"

Sintassi:

<dato> * <dato>

• Se gli operandi sono scalari, calcola il prodotto
• Per vettori o matrici, calcola il prodotto matriciale
  • Ossia il prodotto riga per colonna
  • Valgono le classiche restrizioni studiate in Algebra

2 * 3 % denota 6
[1, 2; 2, 1] * [2, 1; 1, 2] % denota [4, 5; 5, 4]
[1, 2] * 2 % prod. per scalare, denota [2, 4]
[1, 2] * [2; 1] % prod. scalare, denota 4
[1; 2] * [2, 1] % prod. vettoriale, denota [2, 1; 4, 2]

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Operatore di prodotto elemento per elemento: ".*"

Sintassi:

<dato> .* <dato>

• Se gli operandi sono scalari, è identico a *

2 .* 3 % denota 6

• Per vettori o matrici con dimensioni identiche...
• ...Moltiplica gli elementi in posizioni analoghe

[1, 2; 2, 1] .* [2, 1; 1, 2] % denota [2, 2; 2, 2]
[1, 2] .* [2, 1] % riga * riga, denota [2, 2]

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Operatore di prodotto elemento per elemento: ".*"

Sintassi:

<dato> .* <dato>

• Vettore * scalare = prodotto per scalare

[1, 2] .* 3 % denota [3, 6]

• Se moltiplichiamo un vettore riga per un vettore colonna...
• ...La colonna viene moltiplicata per ciascuno scalare nella riga...
• ...ed otteniamo una matrice

[1; 2] .* [1, 3] % denota [1, 3; 2, 6]

Broadcasting

Per alcuni operatori (e.g. ".*"):

• Se gli operandi hanno una dimensione "sbagliata"...
• ...Octave cerca di risolvere il problema "espandendo" gli operandi

Per esempio:

[1; 2] .* [1, 3] % colonna per riga

Viene espanso come (replica di righe/colonne):

$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 2 & 2 \end{array}\right) .* \left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 1 & 3 \end{array}\right)$$

Broadcasting

Per alcuni operatori (e.g. ".*"):

• Se gli operandi hanno una dimensione "sbagliata"...
• ...Octave cerca di risolvere il problema "espandendo" gli operandi

Un altro esempio:

[1, 2] .* 2 % riga per scalare

Viene espanso come (replica dello scalare):

$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \end{array}\right) .* \left(\begin{array}{cc} 2 & 2 \end{array}\right)$$

Questo meccanismo di espansione si chiama broadcasting

• Non lo useremo spesso, ma qualche volta sì

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Operatore di divisione elemento per elemento: "./"

Sintassi:

<dato> ./ <dato>

• Calcola il quoziente elemento per elemento
• Per vettori/matrici: stesse regole di ".*" (incluso il broadcasting)

Esiste anche un vero e proprio operatore di divisione "/"

• Se applicato a scalari, è identico a "./"
• Se applicato a matrici, ha un comportamento più complesso

Lo vedremo più avanti

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Operatore di trasposizione (unario): ".'"

Sintassi:

[a, b; c, d].' % denota [a, c; b, d]

• Calcola la trasposizione del vettore/matrice cui è applicato

Operatore di trasposizione e coniugazione: "'"

• Stesso effetto del precedente, se i numeri sono reali
• Se i numeri sono complessi, trasposizione + coniugazione

[a+i, b+i; c+i, d+i]' % denota [a-i , c-i; b-i, d-i]

Ricordate: i numeri complessi non li useremo gran che

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Elevamento a potenza elemento per elemento: ".^" o ".**"

Sintassi:

<dato> .^ <dato> % Notazione 1
<dato> .** <dato> % Notazione 2

• Dato a sx = base, dato a dx = esponente
• Eleva la base all'esponente, elemento per elemento
• Per vettori e matrici: stesse regole di ".*" (incluso il broadcasting)

Esiste anche un operatore di elevamento a potenza "^" (o "**")

• Se applicato a scalari, è identico a ".^" (o ".**")
• Su matrici & vettori, calcola l'esponenziale di matrice

Funzioni con Sintassi Speciale: Operatori

Anche l'assegnamento "=" è considerato un operatore

In particolare, esso denota il valore assegnato:

x = 10

• Assegna 10 alla variabile x e denota il valore 10

(x = 10) * 2

• Assegna 10 alla variabile x e denota il valore 20

y = x = 10

• Assegna 10 ad x, poi ad y, quindi denota il valore 10

Si dice che = è un operatore con effetti collaterali

Associatività e Priorità

Consideriamo l'espressione:

2 * a + b + 5

Sappiamo (per regole di matematica) che va interpreta come:

((2 * a) + b) + 5

Questa interpretazione si basa su due proprietà degli operatori:

• Priorità, che determina quali operatori debbano essere risolti prima
• Associatività, per risolvere applicazioni multiple di un operatore

Octave utilizza le stesse proprietà per interpretare gli operatori

Associatività e Priorità

Tutti gli operatori che abbiamo visto sono associativi da sx a dx

Associatività e Priorità

Qualche esempio:

2 * 3 + 4     % --> (2 * 3) + 4
2**3 * 2      % --> (2**3) * 2
a = 10 + 2    % --> a = (10 + 2)
1:5+5*2       % --> 1:(5 + (5*2))
plus(2,3)*2   % --> (plus(2,3)) * 2

Per forzare un ordine diverso, si possono usare le parentesi

2 * (3 + 4)     % --> 2 * (3 + 4)

Plotting

Octave permette anche di disegnare facilmente dei grafici

• Si utilizzano delle funzioni apposite
• Le vedremo più avanti nel corso

Oggi, come esempio, stampiamo un sombrero :-)

sombrero()

La funzione sombrero():

• Serve a verificare il funzionamento del back-end grafico
• Calcola il valore di una funzione in due variabili per un range di valori
• Costruisce una figura ed un grafico 3D